Warunek Cauchy'ego

[Wiktoria Wozniak]

Witam,
potrzebuję wykazać, ze ciąg ilorazów \(\displaystyle{ \frac{F_{n+1}}{F_n}}\) spełnia warunek Cauchy'ego.
Postaram się teraz przybliżyć o jaki ciąg dokładnie chodzi.
Mamy ciąg Fibonacciego zdefiniowany rekurencyjnie
\(\displaystyle{ F_n = \begin{cases} 1, \ n=1,2 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \ n>2 \end{cases}}\)
jeżeli zaczniemy dzielić sąsiednie wyrazy tego ciągu przez siebie, tj. \(\displaystyle{ \frac{F_{n+1}}{F_n},}\) to zaczną one oscylować wokół złotej liczby \(\displaystyle{ \varphi.}\)
Chcę wykazać, że owy ciąg ilorazów jest ciągiem Cauchy'ego, wprowadzam oznaczenie \(\displaystyle{ \varphi_{n+1} = \frac{F_{n+1}}{F_n}}\) mamy więc:
\(\displaystyle{ |\varphi_{n+1} - \varphi_{m+1} | = \left | \frac{F_{n+1}}{F_{n}} - \frac{F_{m+1}}{F_m} \right | = \left | 1+\frac{1}{\varphi_n}-1-\frac{1}{\varphi_m} \right | = \left | \frac{1}{\varphi_n} - \frac{1}{\varphi_m} \right | \le \newline \le \frac{1}{\varphi_n} + \frac{1}{\varphi_m}}\)
i nie wiem co dalej.. Czy mógłby ktoś podsunąć jakąś myśl?

[Benny01]

Czy musisz to robić koniecznie w ten sposób? Wystarczy, że pokażesz zbieżność tego ciągu.

[Janusz Tracz]

W przestrzeni metrycznej każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego. Wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{F_{n+1}}{F_n}}\) jest zbieżny. A jest jak sama zauważyłaś choć chyba oscylacji tam nie ma to faktycznie taki iloraz zmierza do \(\displaystyle{ \varphi}\)

[Wiktoria Wozniak]

Ogólnie, chcę skorzystać z własności ciągu Cauchy'ego, tj. ciąg Cauchy'ego \(\displaystyle{ \{x_n\}}\) mający punkt skupienia \(\displaystyle{ x_0}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ x_0.}\) Ale żeby móc z tego korzystać, musiałabym najpierw pokazać, że ciąg ten jest ciągiem Cauchy'ego.

-- 22 maja 2019, o 11:53 --

Czyli wystarczy pokazać, że jest ograniczony i monotoniczny? Wtedy będzie zbieżny, więc będzie też ciągiem Cauchy'ego?

[Janusz Tracz]

Czyli wystarczy pokazać, że jest ograniczony i monotoniczny? Wtedy będzie zbieżny, więc będzie też ciągiem Cauchy'ego?

Tak

[Wiktoria Wozniak]

Dziękuję

[Dasio11]

Ten ciąg nie jest monotoniczny. Mamy: \(\displaystyle{ \varphi_2 < \varphi_4 < \varphi_6 < \ldots < \varphi < \ldots < \varphi_7 < \varphi_5 < \varphi_3}\).

[Wiktoria Wozniak]

To prawda. W takim razie pytanie o warunek Cauchy’ego pozostaje nadal aktualne.

[Premislav]

Niech \(\displaystyle{ n\ge m\ge 1}\).
Wówczas mamy \(\displaystyle{ \left| \frac{F_{n+1}}{F_n} - \frac{F_{m+1}}{F_m} \right|=\left| \frac{F_{n+1}F_m-F_{m+1}F_n}{F_nF_m} \right|= \frac{\left|F_{n+1}F_m-F_{m+1}F_n \right| }{F_mF_n}}\)
i teraz spróbujmy wykazać, że
\(\displaystyle{ F_{n+1}F_m-F_{m+1}F_n =(-1)^{m-1}F_{n-m}}\).
Indukcja po \(\displaystyle{ n\ge m}\).
Dla \(\displaystyle{ n=m}\) po obu stronach równości mamy zero, zaś dla \(\displaystyle{ n=m+1}\) otrzymujemy znaną tożsamość Cassiniego:
\(\displaystyle{ F_{m+2}F_m-F_{m+1}^2=(-1)^{m+1}}\),
którą można łatwo udowodnić dzięki spostrzeżeniu, że
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}1&1\\1&0\end{array}\right)^{m+1}=\left(\begin{array}{cc}F_{m+2}&F_{m+1}\\F_{m+1}&F_m\end{array}\right)}\)

Teraz przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\ge m}\) teza zachodzi dla liczb \(\displaystyle{ n, \ n+1}\). Pokażemy, że wówczas teza zachodzi też dla \(\displaystyle{ n+2}\):
\(\displaystyle{ (-1)^{m-1}F_{n+2-m}=(-1)^{m-1}F_{n+1-m}+(-1)^{m-1}F_{n-m}=\\=F_{n+2}F_m-F_{m+1}F_{n+1}+ F_{n+1}F_m-F_{m+1}F_n=F_{n+3}F_m-F_{m+1}F_{n+2}}\)
co kończy dowód kroku indukcyjnego.

Teraz już trywialne: skoro
\(\displaystyle{ F_{n+1}F_m-F_{m+1}F_n =(-1)^{m-1}F_{n-m}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{\left|F_{n+1}F_m-F_{m+1}F_n \right| }{F_mF_n}= \frac{F_{n-m}}{F_n F_m}\le \frac 1{F_m}}\)
gdyż ciąg Fibonacciego jest rosnący. To załatwia sprawę, bo oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{m \to \infty}F_m=+\infty}\) (indukcyjnie łatwo wykazać \(\displaystyle{ F_m\ge \left( \frac 54\right)^m}\) dla \(\displaystyle{ m\ge 3}\), a jeśli możemy korzystać ze wzoru Bineta, to już w ogóle nie ma o czym mówić).

NB bardzo mnie dziwi takie polecenie, jak się zna wzór jawny (z funkcji tworzących można wyprowadzić), tzw. wzór Bineta, to obliczenie granicy tego ilorazu jest banalne i ze zbieżności ciągu wynika, że jest on ciągiem Cauchy'ego, natomiast nie wydaje mi się, by bez znajomości wzoru Bineta pokazanie, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego, cokolwiek tu ułatwiało w kwestii wyznaczenia granicy.