Dwa ciągi

[mol_ksiazkowy]

Niech \(\displaystyle{ a_1 = \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1 } = \sqrt{2 - \sqrt{4- a_n^2} }}\) i \(\displaystyle{ b_n =2^{n+1} a_n}\). Udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest monotoniczny i ograniczony.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{b_{n+1}}{b_n}= \frac{2^{n+2}a_{n+1}}{2^{n+1}a_{n}}=2 \cdot \frac{ \sqrt{2- \sqrt{4-a^2_n} } }{a_n}=2 \cdot \frac{ \sqrt{ \frac{a_n^2}{2+\sqrt{4-a^2_n} } } }{a_n} =\\= \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{4-a^2_n}}} > \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{4}}} =1}\)
Ciąg \(\displaystyle{ \left\{ b_n\right\}}\) jest rosnący.

Ograniczenie z dołu to \(\displaystyle{ b_1=4 \sqrt{2}}\)

Mam problem z ograniczeniem z góry.
Wydaje się że dobrym ograniczeniem jest \(\displaystyle{ 8}\) (choć intuicja sugeruje mi mocniejsze ograniczenie, czyli \(\displaystyle{ 2 \pi}\) ) lecz na razie nie wiem jak to ładnie wykazać.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ a_{n+1} = \sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}}}\)

to wzór, który uzyskał Archimedes, obliczając rekurencyjnie długości boków \(\displaystyle{ 2^n}\)-kątów foremnych wpisanych w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) w celu przybliżenia wartości liczby \(\displaystyle{ \pi}\). Zachodzi wobec tego \(\displaystyle{ a_n = 2 \sin \frac{\pi}{2^{n+1}}}\), co łatwo wykazać przez indukcję.