Problem z dwoma granicami

[Pyroxar]

Szanowni Państwo,
mam problem z dwoma granicami:
\(\displaystyle{ 1) a _{n} = \frac{n!}{(2n)!}}\)
\(\displaystyle{ 2) a _{n} = \frac{(2n)!}{(n!) ^{2} }}\)

Uprzejmie proszę o ich obliczenie lub zaczęcie (pierwszy krok) ponieważ ilekroć próbuje wychodzi mi zły wynik.

[Jan Kraszewski]

a) \(\displaystyle{ \frac{n!}{(2n)!}\le \frac{1}{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n\ge 1}\).

JK

[MrCommando]

1) Dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ 0\leq \frac{n!}{(2n)!} \leq \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}}\). Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że dana granica jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

2) Rozważmy szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}}\). Niech \(\displaystyle{ a_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}}\). Mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}<1}\). Zatem z kryterium d'Alemberta wynika, że rozważany szereg jest zbieżny, stąd wobec warunku koniecznego zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_n=0}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_n}=+\infty}\).

[sdd1975]

W pierwszym bym skrócił - cały licznik poleci - i granica 0.

A w drugim też bym skrócił - i nie wiem, co dalej, ale pewnie uderzyłbym w twierdzenie i 3 ciągach.

-- 24 kwi 2019, o 20:59 --

1) Dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) mamy \(\displaystyle{ 0\leq \frac{n!}{(2n)!} \leq \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}}\). Zatem z twierdzenia o trzech ciągach wynika, że dana granica jest równa \(\displaystyle{ 0}\).

2) Rozważmy szereg liczbowy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}}\). Niech \(\displaystyle{ a_n=\frac{(n!)^2}{(2n)!}}\). Mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to \infty}\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}=\frac{1}{4}<1}\). Zatem z kryterium d'Alemberta wynika, że rozważany szereg jest zbieżny, stąd wobec warunku koniecznego zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} a_n=0}\), czyli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{a_n}=+\infty}\).

a skąd pomysł, że chodzi o szeregi?

Moim zdaniem autor wątku pyta o granice ciągów.

[MrCommando]

W zadaniu nie chodzi o szeregi. Nikt nie broni nam powołać się na twierdzenia z nimi związane, żeby policzyć te granice.

[Premislav]

2) inaczej: zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{(n!)^2}=\max\left\{ {2n \choose k}: k\in \left\{ 0,1,2, \ldots 2n\right\} \right\}}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{(n!)^2}\ge \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n}{2n \choose k}\ge \frac{{2n \choose 2}}{2n+1}=n\cdot \frac{2n-1}{2n+1} \ge \frac n 3}\)
i dalej łatwo.

[Janusz Tracz]

Jak się w b) oszacuje silnię (czymś co się często pojawia przy omawianiu indukcji) tj. \(\displaystyle{ \left( \frac{n}{e} \right)^n \le n! \le \left( \frac{n}{e} \right)^nn}\) to mamy:

\(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \ge \frac{\left( \frac{2n}{e} \right)^{2n} }{\left( \frac{n}{e} \right)^{2n}n^2 }= \frac{4^n}{n^2}\to \infty}\)

Zatem dwa ciągi wystarczą. Premislav ładne oszacowanie^^

PS

Ukryta treść:    

Gdyby trzeba było pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{4^n}{n^2}\to \infty}\) a jednocześnie nie chcieli byśmy korzystać z czegoś co indukcją nie pójdzie to można z Nierówność Bernoulliego (nawet lekko osłabionej) zapisać:

\(\displaystyle{ 4^n=\left[ \left( 1+\left( \sqrt[3]{4}-1 \right) \right)^n\right]^3 \ge \left( \sqrt[3]{4}-1\right) ^3n^3}\)

Choć nie jest to konieczne, chciałem tylko sprawdzić czy da radę wcisnąć Nierówność Bernoulliego do tego zadania.

[a4karo]

Aż takich narzędzi trzeba????

\(\displaystyle{ \frac{n!n!}{(2n)!}=\frac{n!n!}{n!(n+1)(n+2)\cdot\ldots\cdot(n+n)}=\frac{1}{n+1}\cdot\frac{2}{n+2}\cdot\frac{3}{n+3}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n+n}\\<\frac{1}{1+1}\cdot\frac{2}{2+2}\cdot\frac{3}{3+3}\cdot\ldots\cdot\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2^n}}\)

[Premislav]

Można to oszacować grubiej, ale jeszcze szybciej: jest
\(\displaystyle{ n!\le n^{n-1}}\) (po lewej stronie, pomijając jedynkę, która nic nie zmienia, mamy \(\displaystyle{ n-1}\)czynników i żaden z nich nie przekracza \(\displaystyle{ n}\)), więc
\(\displaystyle{ \frac{n!n!}{(2n)!}=\frac{n! n!}{n!(n+1)(n+2)\ldots (n+n)}=\\=\frac{n!}{(n+1)(n+2)\ldots(n+n)}\le \frac{n^{n-1}}{\overbrace{(n+0)\cdot (n+0)\ldots \cdot (n+0)}^n}=\frac{1}{n}}\)

[a4karo]

\(\displaystyle{ \frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{n!}{(2n-1)!!}\cdot\frac{n^!}{(2n)!!}<1\cdot \frac{1}{2^n}}\)

[Premislav]

O, to jest świetne