Granica ilorazu

[Rozbitek]

Niech \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)'tą liczbę pierwszą. Czyli: \(\displaystyle{ p_1 = 2, \;\; p_2 = 3, \;\; p_3 = 5, \;\; p_4 = 7, \dots}\)

Obliczyć: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{p_{n+1}}{p_n}.}\)

Ograniczenie z dołu przez \(\displaystyle{ 1}\) jest oczywiste.
Ograniczenie z góry do jakiego można łatwo dojść, to \(\displaystyle{ 2}\) i wynika ona bezpośrednio z zastosowania postulatu Bertranda. Skoro odległość między \(\displaystyle{ p_n}\) a \(\displaystyle{ p_{n+1}}\) jest nie większa niż \(\displaystyle{ p_n}\), to ograniczenie: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2p_n}{p_n} = 2}\) wydaje się być oczywiste.
Ale to jeszcze nie rozwiązuje problemu.
Podejrzewam, że ta granica to \(\displaystyle{ 1}\), ale nie mogę wpaść na pomysł jak to wykazać.

[Janusz Tracz]

Ja bym skorzystał z wersji równoważnej

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

mówiącej o asymptotycznym zachowaniu liczb pierwszych. Asymptotycznie zachodzi \(\displaystyle{ p_n\sim n\ln n}\) zatem

\(\displaystyle{ \frac{p_{n+1}}{p_n}\sim \frac{(n+1)\ln (n+1)}{n\ln n}\to 1}\)

stąd dostajemy potwierdzenie podejrzeń.

[Rozbitek]

Dziękuję.