Granica z logarytmu naturalnego

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( n \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right) \right)}\)

Myślałem nad twierdzeniem o trzech ciągach, ale nie mogę wpaść na właściwe ograniczenia. Wolfram wyliczył, że jest równa jeden.

[kerajs]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( n \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right) \right)=\lim_{n \to \infty } \ln \left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n=\ln e =1}\)

[Premislav]

Jak się zna coś takiego:
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}> e> \left( 1+\frac 1 n\right)^n}\)
(ciąg po lewej jest malejący, a ciąg po prawej jest rosnący, co się wykazuje z nierówności Bernoulliego lub z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną),
to wystarczy zlogarytmować stronami i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach.-- 19 kwi 2019, o 14:43 --No dobra, jeszcze małe przekształcenie trzeba wykonać.

[Belf]

Napiszcie po ludzku, aby zrozumiał:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( 1 + \frac{a}{n} \right) ^n=e^a}\)

[Premislav]

Co powyżej jest nie po ludzku? Zamieniam się w słuch.