Równanie z granicami

[PieknoMatematyki]

Jak mamy równanie:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n \cdot \lim_{n \to \infty } a_n = 1}\)

to czy można obustronnie podzielić przez \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n}\) ?

[Premislav]

To „równanie" nie ma żadnego sensu liczbowego. Pokaż proszę treść oryginalnego zadania.

[PieknoMatematyki]

Ale to już całe zadanie w niezmienionej formie.

Czemu nie ma sensu liczbowego?
Aha, \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem malejącym o wyrazach dodatnich.

[Premislav]

To nic nie zmienia, bo \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty}n=+\infty}\), więc po lewej stronie nie masz liczby rzeczywistej, a po prawej tak.

[PieknoMatematyki]

Przykład kiedy prawda
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n \cdot \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{n} = 1}\)

Pierwsze przejście z arytmetyki granic.

Czemu źle?

[Premislav]

Wydaje mi się, że odwracasz implikację w twierdzeniu o arytmetyce granic, poza tym ono tyczy się tylko sytuacji, gdy mamy granice właściwe (niby można coś rozszerzać, ale moim zdaniem wprowadza to więcej zamętu niż pożytku, zwłaszcza z uwagi na symbole nieoznaczone; nawet takie rozszerzenia nie nadają jednak sensu temu, co napisałeś).
Mamy coś takiego: jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n=a}\) i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} b_n=b}\) (przy czym \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami rzeczywistymi, czy ogólniej zespolonymi), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}a_n b_n=a\cdot b \ \left( = \lim_{n \to \infty }a_n\cdot \lim_{n \to \infty}b_n \right)}\)
Natomiast z tego, że istnieje granica iloczynu, w ogólności nie możesz wnioskować o istnieniu granic właściwych poszczególnych czynników.

[PieknoMatematyki]

Dziękuję za oświecenie.