Witam serdecznie!
Jestem uczniem liceum i przygotowuję się aktualnie do półfinału konkursu PW MiNi. Natrafiłem na zadanie z tegoż właśnie konkursu, które obecnie nie wiem nawet jak ruszyć.
Ciągi \(\displaystyle{ a_{n}, b_{n}}\) liczb całkowitych, dla \(\displaystyle{ n\in C_{+}}\), określone są zależnością \(\displaystyle{ (2+ \sqrt{3})^{n}= a_{n}+ b_{n} \sqrt{3}}\).
Oblicz (o ile istnieje) granicę \(\displaystyle{ \lim_ {n \to \infty }\frac{a _{n} }{b _{n} }}\).
Pozdrawiam i proszę o pomoc.
Dwa ciągi i granica
-
- Użytkownik
- Posty: 55
- Rejestracja: 23 mar 2019, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 16 razy
Dwa ciągi i granica
Ostatnio zmieniony 23 mar 2019, o 19:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Dwa ciągi i granica
Odnotujmy, że
\(\displaystyle{ \left( 2+\sqrt{3}\right)^{n+1}=(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n=\\= (2+\sqrt{3})(a_n+b_n \sqrt{3})=\\=(2a_n+3b_n)+\sqrt{3}(a_n+2b_n)}\)
Czyli dostajemy zależności rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n+3b_n\\ b_{n+1}=a_n+2b_n}\)
Ponadto \(\displaystyle{ a_1=2, \ b_1=1}\). Można z tej zależności rekurencyjnej wyznaczyć jawne wzory na \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\), ale nie trzeba. Jak to jest konkurs, to resztę zostawiam dla Ciebie.
\(\displaystyle{ \left( 2+\sqrt{3}\right)^{n+1}=(2+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})^n=\\= (2+\sqrt{3})(a_n+b_n \sqrt{3})=\\=(2a_n+3b_n)+\sqrt{3}(a_n+2b_n)}\)
Czyli dostajemy zależności rekurencyjnie:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n+3b_n\\ b_{n+1}=a_n+2b_n}\)
Ponadto \(\displaystyle{ a_1=2, \ b_1=1}\). Można z tej zależności rekurencyjnej wyznaczyć jawne wzory na \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\), ale nie trzeba. Jak to jest konkurs, to resztę zostawiam dla Ciebie.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Dwa ciągi i granica
Albo zauważmy, że \(\displaystyle{ (2- \sqrt{3})^{n}= a_{n}- b_{n} \sqrt{3}}\) mnożąc stronami z wejściową równością dostajemy zależność
\(\displaystyle{ 1=a_n^2-3b_n^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}= \sqrt{3+ \frac{1}{b_n^2} }}\)
zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{b_n}= \lim_{n \to \infty } \sqrt{3+ \frac{1}{b_n^2} } =...}\)
\(\displaystyle{ 1=a_n^2-3b_n^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{b_n}= \sqrt{3+ \frac{1}{b_n^2} }}\)
zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{a_n}{b_n}= \lim_{n \to \infty } \sqrt{3+ \frac{1}{b_n^2} } =...}\)