Granica sumy sumą granic

[matematykipatyk]

Dlaczego jeżeli w takim przykładzie
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2}+ ... + \frac{n}{n^2} \right)}\)
policzę sobie sumę granic to wychodzi \(\displaystyle{ 0}\) a jeżeli dodam te liczby i licznik potakatuję jako sumę ciągu arytmetycznego to wychodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ?

[Premislav]

Nie możesz tutaj stosować twierdzenia mówiącego o tym, że granica sumy jest sumą granic, ponieważ działa ono dla sumy ustalonej liczby składników (z których każdy ma granicę, jeszcze najlepiej właściwą, żeby nie produkować niejednoznaczności). Tutaj liczba składników rośnie, gdy \(\displaystyle{ n}\) rośnie.

[Janusz Tracz]

Można też powiedzieć, że licząc to jako sumę granic zakładasz poniekąd, że \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty =0}\). A wiadomo, że taka równość jest błędna.

[matematykipatyk]

Ale tutaj mamy ustaloną sumę składników. Jest ona równa \(\displaystyle{ n}\).

[Jan Kraszewski]

No to napisz sobie pięć pierwszych wyrazów tego ciągu i sprawdź, czy na pewno masz "ustaloną sumę składników".

JK

[Dasio11]

Ale tutaj mamy ustaloną sumę składników. Jest ona równa \(\displaystyle{ n}\).

W takim razie zastanawiam się, ile musiałoby ich być, żeby ta liczba była nieustalona. :p

[matematykipatyk]

\(\displaystyle{ \frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^2} + \frac{5}{5^2}}\)

No ale w sumie przekonuje mnie to:
"Tutaj liczba składników rośnie, gdy n rośnie. "

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^2} + \frac{4}{5^2} + \frac{5}{5^2}}\)

To nie jest pięć pierwszych wyrazów tego ciągu, tylko piąty wyraz tego ciągu. A to różnica.

JK