Oblicz granice ciągu - gdzie popełniam błąd?

[Kepes]

Witam.
Ktoś mógłby wskazać i poprawić mój błąd?

\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( \frac{n^{2} + 2}{2n^{2}+1}\biggr)^{n^{2}} = \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl(\frac{n^{2}+2n^{2}+1-2n^{2}-1+2}{2n^{2}+1}\biggr)^{n^{2}} = \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( 1 + \frac{-n^{2}+1}{2n^{2} + 1 } \biggr)^{n^{2}} = \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( 1 + \frac{1}{\frac{2n^{2}+1}{-n^{2} + 1 } } \biggr)^{n^{2}} = \lim_{n \rightarrow\infty} \Biggl(\biggl( 1 + \frac{1}{\frac{2n^{2}+1}{-n^{2} + 1 } } \biggr)^{\frac{2n^{2}+1}{-n^{2} + 1 }}\Biggr)^{\frac{n^{2}}{\frac{2n^{2}+1}{-n^{2} + 1 }}}\)

Sprowadziłem to do wzoru: \(\displaystyle{ \lim \biggl( 1 + \frac{1}{x}\biggr)^x = e^{x}}\)

Obliczam: \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( \frac{n^{2}}{\frac{2n^{2}+1}{-n^{2} + 1}}\biggr) = \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( n^{2} * \frac{ -n^{2} + 1 }{2n^{2}+1 } \biggr) = = \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( \frac{n^{2}(1)* n^{2}(-1 + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})} \biggr) = \frac{-1}{2}}\)

Z tego wynika że \(\displaystyle{ e^{-\frac{1}{2}}}\) a książka pokazuje odpowiedź: \(\displaystyle{ e^{\frac{3}{2}}}\)

Co robię źle?
Dziękuje za pomoc!
Pozdrawiam.

[Premislav]

Czy na pewno dobrze przepisałeś przykład? Taka granica:
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( \frac{n^{2} + 2}{2n^{2}+1}\biggr)^{n^{2}}}\)
nie jest równa ani \(\displaystyle{ e^{\frac 3 2}}\), ani \(\displaystyle{ e^{-\frac 1 2}}\), tylko \(\displaystyle{ 0}\), a oto uzasadnienie: ponieważ, jak łatwo policzyć,
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 2}{2n^{2}+1}=\frac 1 2}\), więc z definicji granicy dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy na przykład \(\displaystyle{ 0<\frac{n^{2} + 2}{2n^{2}+1}<\frac 2 3}\). Czyli dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ 0<\left(\frac{n^{2} + 2}{2n^{2}+1}\right)^{n^2}<\left(\frac 2 3\right)^{n^2}}\)
Skrajne ciągi dążą do zera, więc na mocy twierdzenia o trzech ciągach \(\displaystyle{ \left(\frac{n^{2} + 2}{2n^{2}+1}\right)^{n^2}\stackrel{n\to \infty}\longrightarrow 0}\).

[Kepes]

Cześć, jestem pewien.
Podsyłam link:

Kod: Zaznacz cały

https://wit.uber.pl/pliki/ID%20Semestr%20I/Analiza%20Matematyczna/Ksiazki/Krysicki.Wlodarski.-.Analiza.matematyczna.w.zadaniach.cz.I.pdf

Strona 40. Zadanie 2.70.
W odpowiedzi widnieje \(\displaystyle{ e^{\frac{3}{2}}}\)

[Dasio11]

To jest powszechnie znany przykład z Krysickiego, Włodarskiego z błędną odpowiedzią na końcu. Rozwiązanie Premislava jest dobre, a sam przykład jest poprawnie rozwiązany również tu.

[Premislav]

Teraz może jeszcze warto zlokalizować Twoje błędy w przekształceniach lub rozumowaniu, żebyś nie powtarzał tych samych pomyłek:
nie ma czegoś takiego, jak ogólny wzór
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \text{whatever}} \biggl( 1 + \frac{1}{x}\biggr)^x = e^{x}}\),
jest natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{x \to {\red +\infty }}\biggl( 1 + \frac{1}{x}\biggr)^x = e}\)

Tutaj wzór ten nie ma zastosowania, ponieważ
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{2n^2+1}{-n^2+1}=-2}\).

Ponadto nie jest prawdziwa napisana przez Ciebie równość
\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( \frac{n^{2}\cdot n^{2}(-1 + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})} \biggr) = \frac{-1}{2}}\)

[Kepes]

Dzięki!
Rozumiem że \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow\infty} \biggl( \frac{n^{2}\cdot n^{2}(-1 + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})} \biggr) = \frac{-1}{2}}\) powinno się równać tak naprawdę \(\displaystyle{ \infty}\) bo zostaje mi coś takiego \(\displaystyle{ \frac{n^{2}\cdot (-1 + \frac{1}{n^{2}})}{(2+\frac{1}{n^{2}})}}\).


A gdy: \(\displaystyle{ (e^{1})^{\infty} = \infty}\)

Czy dobrze rozumiem?

[Premislav]

Raczej \(\displaystyle{ -\infty}\), bo tam masz \(\displaystyle{ -1}\). Po skróceniu tych \(\displaystyle{ n^2}\) zostaje Ci coś takiego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}n^2\cdot \frac{-1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}}\),
oczywiście \(\displaystyle{ n^2}\) dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), zaś ten ułamek
\(\displaystyle{ \frac{-1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}}\) do \(\displaystyle{ -\frac 1 2}\) (liczba ujemna), więc
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left(n^2\cdot \frac{-1+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}\right)=-\infty}\)