Problem z granicą

[sdd1975]

Kochani - taką mam granicę do obliczenia:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)^n}\)

Wiadomo, że jest to wyrażenie nieoznaczone \(\displaystyle{ [1^\infty ]}\)

Granica na pewno będzie związana z e, a proste symulacje na kalkulatorze czy w Excelu pokazują, że będzie to \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\)

Tylko jak to zgrabnie rozpisać? Najlepiej bez uciekania się do liczenia granicy funkcji
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left( {\frac{e ^ \frac {1} {x} +1}{2}}\right)^x}\)
za pomocą reguły de L'Hospitale'a

Jakaś podpowiedź?

Kombinowałem

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)^n = \lim_{n \to \infty } \left( 1+{\frac{e ^ \frac {1} {n} -1}{2}}\right)^n}\)

ale nic sensownego nie chciało wyjść...

[Zahion]

Elegancko kombinujesz, teraz to wystarczy dokończyć.
Zadanie sprowadzi się do obliczenia granicy \(\displaystyle{ n\left( e^{\frac{1}{n}} - 1\right)/2}\) w nieskończoności, a to jest de facto granica \(\displaystyle{ \frac{e^{x}-1}{2x}}\) w zerze

[sdd1975]

Czyli nie unikniemy transformacji do granicy funkcji?

[Dilectus]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)^n=g \ \Rightarrow \ \lim_{n \to \infty } \ln \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)^n= \ln g}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\ln \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)^n=\lim_{n \to \infty }n\ln \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)= \lim_{n \to \infty } \frac{\ln \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)}{ \frac{1}{n} }\stackrel{[H]}{=}\lim_{n \to \infty } \frac{\left( \frac{2}{e ^ \frac {1} {n} +1}\right) \cdot \frac{1}{2}e^{ \frac{1}{n} } \cdot \left( - \frac{1}{n^2}\right) }{- \frac{1}{n^2} }= \\ \lim_{n \to \infty }\left( \frac{2}{e ^ \frac {1} {n} +1}\right)\cdot \frac{1}{2}e^{ \frac{1}{n}}= \frac{1}{2}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \ln g= \frac{1}{2}}\)

no to \(\displaystyle{ g=e^{ \frac{1}{2} }}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( {\frac{e ^ \frac {1} {n} +1}{2}}\right)^n=e^{ \frac{1}{2} }}\)

[Zahion]

\(\displaystyle{ \left( 1+{\frac{e ^ \frac {1} {n} -1}{2}}\right)^n = \left[ \left( 1+ \frac{1}{ \frac{2}{e^{ \frac{1}{n}} - 1} } \right)^{\frac{2}{e^{\frac{1}{n}} - 1}\right]^{n\left( e^{\frac{1}{n}} - 1\right)/2 }}\)
I tak jak napisałem dalej, ta druga granica jest znana.

[sdd1975]

Bardzo dziękuję.A zatem tak,czy inaczej, to zadanie można wykonać tylko z wykorzystaniem rachunku różniczkowego. Nie da się go zrobić na prostej zasadzie sprowadzenia do granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left( 1+ \frac {1} {\square} \right)^\square = e}\)

[Zahion]

Właśnie do takiej postaci sprowadziliśmy tą granicę.

[sdd1975]

No ale finalne wyliczenie wymaga "rozszerzenia dziedziny" i potraktowania de l'Hospitalem

Po prostu tłumacząc komuś tę granicę należy najpierw przerobić pochodne.

[Zahion]

Co chcesz rozwiązywać za pomocą de l'Hospitala ?
Nie widzę potrzeby stosowania tutaj tego narzędzia.

[sdd1975]

I tak jak napisałem dalej, ta druga granica jest znana.

Skąd jest znana?

Dla mnie nie jest objawionym aksjomatem, że granica

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{e^x - 1} {2x} = \frac {1} {2}}\)

Muszę de l'Hospitalem ją policzyć,

[Zahion]

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 0 } \frac{e^x - 1} {x} = 1}\) to podstawowa granica wśród wyrażeń nieoznaczonych.
Wystarczy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ \frac{1}{t} = e^{x} - 1}\) i łatwo uzyskam wartość tej granicy, właśnie poprzez zastosowanie równości \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e, n \rightarrow \infty}\)

[Dasio11]

Wystarczy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ \frac{1}{t} = e^{x} - 1}\) i łatwo uzyskam wartość tej granicy, właśnie poprzez zastosowanie równości \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e, n \rightarrow \infty}\)

Nie do końca, bo w ten sposób korzystamy z granicy funkcji \(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t}\) przy \(\displaystyle{ t \to \infty}\), a nie ciągu.

[Zahion]

Tak, przepraszam za nieścisłość. Warto nadmienić, że wartość granicy tej funkcji to również liczba Eulera, co wymaga skorzystania z definicji granicy funkcji oraz własności granic.