Granica ciągu

[Calasilyar]

Zad.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n+1}{n[\ln{(n+1)}-\ln{n}]}}\)

Rozwiązując to normalnie wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\):
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{n}}{\ln{\left( \frac{n+1}{n}\right) }}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n}\right) }}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n} }}=\infty}\)

a z de l'Hospitala wychodzi 1:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{n}}{\ln{\left( \frac{n+1}{n}\right) }}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n}\right) }}=H=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{-\frac{1}{n^{2}}}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)}}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})=1}\)

Gdzie jest błąd?

[Piotr Rutkowski]

A czy tu można wtedy korzystać z de L'Hospitala

[Calasilyar]

A czemu nie? W sumie to nie byłem pewien, ale chyba nie ma żadnych przeciwwskazań.

[Piotr Rutkowski]

W momencie gdy korzystasz z reguły de L'Hospitala masz wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\), a to nie spełnia kryteriów zastosowania reguły de L'Hospitala

Warunki:
W skrócie, jak masz funkcje różniczkowalne f i h, oraz \(\displaystyle{ h(x)\neq 0 \wedge h'(x)\neq 0}\) oraz funkcje te w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) obie zbiegają do zera bądź +-nieskończoności, to wtedy dopiero:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{h(x)}= \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f'(x)}{h'(x)}}\)

[Calasilyar]

momencie gdy korzystasz z reguły de L'Hospitala masz wyrażenie \frac{1}{0},

aaa no racja hehe, tak to jest jak się za daleko kombinuje