I mnie to drażni. Pewnie to jest "oczywiste"... mam nadzieję, że nie jest bzdurą xD
Założenia:
\(\displaystyle{ a_n\leq a_{n+1},n\in\mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=a}\).
Hipoteza:
\(\displaystyle{ a=\sup\left\{a_n\colon n\in\mathbb{N}\right\}}\).
Naskrobałem sobie na szybko tak:
Starczyłoby pokazać, że \(\displaystyle{ a_n\leq a,n\in\mathbb{N}}\).
Założyłem sobie nie wprost, że istnieje \(\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ a_{n_0}>a}\).
Wtedy \(\displaystyle{ a_{n_0}=a+\delta}\) dla pewnego \(\displaystyle{ \delta >0}\)
Definiuję ciąg \(\displaystyle{ (b_n)}\) następująco
\(\displaystyle{ b_n := a_{n_0 + n}}\)
\(\displaystyle{ (*)\; b_n\geq a+\delta}\), z monotoniczności \(\displaystyle{ (a_n)}\).
Ukryta treść:
Ale z \(\displaystyle{ (*)}\) wynikałoby, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} b_n \geq a+\delta}\) i w takim razie
\(\displaystyle{ a>a+\delta}\), \(\displaystyle{ \delta>0}\) - sprzeczność.
Z tym \(\displaystyle{ a+\delta}\) taka brzydka zabawa, bo domyślicie się, że mi się "osłabiała" nierówność przy przejściu do granicy... i nie wiem czy to potrzebne albo bzdury jakieś tworzę...
Znowu - piszę o pomoc tylko dlatego, że jestem przemęczony, bądźcie wyrozumiali xD
