Granica ciągu, różnica pierwiastków różnych stopni

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
hwite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 7 lis 2017, o 00:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Granica ciągu, różnica pierwiastków różnych stopni

Post autor: hwite »

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} = \sqrt{ \pi ^{n} } - \sqrt[3]{ \pi ^{n} }}\)

Nie wiem jak to rozwiązać, podejrzewam że twierdzeniem o trzech ciągach, ale moje "rozwiązanie" chyba nie jest dobre. Mam problemy z tym twierdzeniem.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}= \sqrt{ \pi ^{n} }- \sqrt{ \pi ^{n} } \le \lim_{n\to\infty} = \sqrt{ \pi ^{n} } - \sqrt[3]{ \pi ^{n} } \le \lim_{n\to\infty} = \pi ^{n} - \pi ^{n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} = \sqrt{ \pi ^{n} } - \sqrt[3]{ \pi ^{n} }=0}\)

Proszę o sprawdzenie i radę, jak to ugryźć.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Granica ciągu, różnica pierwiastków różnych stopni

Post autor: bosa_Nike »

Proponuję wyciągnąć \(\displaystyle{ \pi^{\frac{n}{3}}}\) przed nawias.
hwite
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 7 lis 2017, o 00:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Granica ciągu, różnica pierwiastków różnych stopni

Post autor: hwite »

\(\displaystyle{ \pi ^{ \frac{n}{2} } - \pi ^{ \frac{n}{3} } = \pi ^{ \frac{n}{3} } \cdot \left( \frac{ \pi ^{ \frac{n}{2} } }{ \pi ^{ \frac{n}{3} } } - 1 \right) = \pi ^{ \frac{n}{3} } \cdot ( \pi ^{ \frac{n}{6} } - 1)}\)

Teraz widać że jest \(\displaystyle{ \infty \cdot \infty}\) i ostatecznie wynik to \(\displaystyle{ \infty}\) ?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Granica ciągu, różnica pierwiastków różnych stopni

Post autor: Dasio11 »

Tak.
ODPOWIEDZ