Granica inf - inf z pierwiastkami o różnych stopniach

[3amprogrammer]

Przygotowuję się do sesji i natrafiłem na taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \left( \sqrt[3]{ x^{3} + 8} - \sqrt{ x ^ 2 + 4} \right)}\)

Rozwiązałem to w taki sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \left( \sqrt[3]{ x^{3} + 8} - \sqrt{ x ^ 2 + 4} \right) = \lim_{ x \to \infty } x \left( \sqrt[3]{ 1 + \frac{8}{x^{3}} } - \sqrt{ 1 + \frac{4}{x^{2}}} \right) = x \left( \sqrt[3]{1} - \sqrt{1} \right) = 0}\)

Mam wątpliwości, co do tego, czy mogę sobie tak odjąć te pierwiastki i pomnożyć \(\displaystyle{ x \cdot 0}\).
\(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\), to symbol nieoznaczony, ale w moim przypadku "0", to \(\displaystyle{ 0}\), a nie coś co zmierza do \(\displaystyle{ 0}\), razy cos co zmierza do nieskończoności.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } x \left( \sqrt[3]{ 1 + \frac{8}{x^{3}} } - \sqrt{ 1 + \frac{4}{x^{2}}} \right) = x \left( \sqrt[3]{1} - \sqrt{1} \right)}\)

Czegoś takiego nie wolno robić! Nie wolno przechodzić po kawałku do granicy (pomijając już fakt, że zjadłeś samą granicę).

JK

[3amprogrammer]

A mógłbyś mi podpowiedzieć jak ugryźć ten przykład? Podobne przykłady rozwiązywałem z użyciem mnożenia przez sprzężenie, ale tutaj pierwiastki mają różne stopnie.

[Jan Kraszewski]

Możesz wykorzystać wzór

\(\displaystyle{ a-b=\frac{a^6-b^6}{a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5}.}\)

JK

[radagast]

Albo oszacować z góry i z dołu:
\(\displaystyle{ x- \sqrt{x^2+4} \le \sqrt[3]{x^3+8}- \sqrt{x^2+4} \le \sqrt{x^2+8}- \sqrt{x^2+4}}\)


Zero wychodzi

[a4karo]

Przygotowuję się do sesji i natrafiłem na taki przykład:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \left( \sqrt[3]{ x^{3} + 8} - \sqrt{ x ^ 2 + 4} \right)}\)

Albo tak
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \left( \sqrt[3]{ x^{3} + 8} - \sqrt{ x ^ 2 + 4} \right)=\lim_{ x \to \infty } \left( \sqrt[3]{ x^{3} + 8} -x +x- \sqrt{ x ^ 2 + 4} \right)\\
=\lim_{x\to\infty}3\int_{x^3}^{x^3+8} \frac{dt}{t^{2/3}}-2\int_{x^2}^{x^2+4}\frac{dt}{t^{1/2}}}\)

A każda z tych całek dąży do zera