Co oznacza taki zapis?

[Rozbitek]

Dzień dobry

Spotkałem się w pewnym artykule z zapisem: \(\displaystyle{ \left\{ S_n\right\}_n^ \infty}\), ale jest on dla mnie niejasny. Chodzi o ciąg o wyrazach od \(\displaystyle{ 1}\) do nieskończoności czy to jest szereg?

\(\displaystyle{ S_n = H_{2n}-H_{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}}\)

Po czym autor stwierdza, że \(\displaystyle{ \left\{ S_n\right\}}\) jest rosnący, no i tutaj zgłupiałem, bo przecież taki ciąg byłby malejący chyba, że jest to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^ \infty S_n}\).

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \{ S_n \}_{n=1}^{\infty}}\) to ciąg indeksowany liczbami naturalnymi dodatnimi. Twój ciąg jest rosnący, bo choć każdy składnik maleje, to składników jest coraz więcej. Łatwo sprawdzić z definicji.

[Rozbitek]

Dasio11, dziękuję bardzo

Mam jeszcze takie pytanko:

\(\displaystyle{ S_{n+1} = H_{2n+2} - H_{n+1} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{2n+2}}\)

Dobrze myślę?

[Janusz Tracz]

Dobrze myślę?

To zależy jaki jest przedostatni wyraz tej sumy którą wypisałeś. W takim zapisie tkwi niebezpieczeństwo zgubienia wyrazu \(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\) który jest przedostatni w sumie. Zapis \(\displaystyle{ H_{2n+2} - H_{n+1}}\) jest bezpieczniejszy pod tym względem albo zapis z użyciem \(\displaystyle{ \sum_{}^{}}\)

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2n+1}}\) ten jest przedostatni, myślałem, że to oczywiste, ale jak zwykle wielokropek dla każdego znaczy co innego.

[Janusz Tracz]

Oczywistość tego przedostatniego wyrazu jest względna z doświadczenia ze wiem, że bywa z tym różnie. W tym miejscu nawet nie chodzi o wielokropek, po prostu jest to miejsce narażone na błędy (widziałem już wielokrotnie błąd w tym miejscu) dlatego wolałem dopytać. Dla mnie najbezpieczniejsza postacią jest

\(\displaystyle{ S_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}}\)

Wtedy nie ma wątpliwości, że

\(\displaystyle{ S_{n+1}= \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k}=\frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots +\frac{1}{2n+1}+ \frac{1}{2n+2}}\)