Matematyka.pl

Oblicz granicę za pomocą całki oznaczonej w sensie Riemanna:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{n}{\left( n + 1\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 2\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 3\right) ^{2} } + ... + \frac{n}{\left( n + n\right) ^{2} }}\)

Ostatnio sporo tego typu zadań się pojawiało, zobacz tu gdzie pisałem jak zauważyć co trzeba policzyć.

\(\displaystyle{ \frac{n}{\left( n + 1\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 2\right) ^{2} } + \frac{n}{\left( n + 3\right) ^{2} } + ... + \frac{n}{\left( n + n\right) ^{2} }= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left( 1+ \frac{k}{n} \right)^2 } \rightarrow \int_{0}^{1} \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x\right)^2 }}\)

I pozostaje tylko policzyć tą całkę co jest już zadaniem rutynowym zatem \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x\right)^2 }= \frac{1}{2}}\) więc \(\displaystyle{ a_n \rightarrow \frac{1}{2}}\)