Wykaż że ciąg rekurencyjny jest zbieżny

[Quba1999]

Wykaż że ciąg rekurencyjny jeszt zbieżny i oblicz jego granicę:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1,
a_{n+1} = \frac{a _{n} ^{2} + a _{n}+ 1 }{a _{n}+3 }}\)
Wyliczyłem możliwe granice i jeżeli ona istnieje to jest równa 0.5 . Teraz chce pokazać że ciąg jest ogranicozny z dołu przez tą właśnie wartość, tylko nie wiem za bardzo jak to zrobić. Próbuję z indukcji ale nie wiem oszacować

[Janusz Tracz]

Twoim kandydatem na granicę jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i jest to jednocześnie kandydat na oszacowanie. Trzeba pokazać dwie rzeczy.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest ograniczony z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Ukryta treść:    

indukcyjnie to zrób. Kluczowy moment to zauważanie że jeśli \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ a_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{a _{n} ^{2} + a _{n}+ 1 }{a _{n}+3 }- \frac{1}{2}= \frac{(2a_n-1)(a_n+1)}{2(a_n+3)} \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest malejący

Ukryta treść:    

Wystarczy policzyć \(\displaystyle{ a_n-a_{n+1}= \frac{2a_n-1}{a_n+3}}\) i pamiętać co się udowodniło chwilę wcześniej, zatem \(\displaystyle{ a_n-a_{n+1} \ge 0}\)

Ciąg malejący i ograniczony ma granicę. Oznaczając ją jako \(\displaystyle{ g}\) otrzymujesz że musi być to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)