Granica ciągu z funkcją trygonometryczną

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
czarodziej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 20 sty 2019, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno

Granica ciągu z funkcją trygonometryczną

Post autor: czarodziej91 »

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \cdot \cos \frac{n}{2n-1}}\)

Rozbiłem na dwie granice. Pierwsza granica to 0. Mam problem z granicą cosinusa. Wyczuwam tutaj twierdzenie o trzech ciągach, jednak nie wiem jakie ciągi dobrać.

Proszę o wskazówkę.
Ostatnio zmieniony 20 sty 2019, o 18:58 przez czarodziej91, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica ciągu z funkcją truy

Post autor: a4karo »

Wsk. wartości kosinusa sa ograniczone z góry i z dołu

Co to jest funkcja truy?
czarodziej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 20 sty 2019, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno

Granica ciągu z funkcją trygonometryczną

Post autor: czarodziej91 »

No to jest oczywiste

\(\displaystyle{ -1 \le \cos \frac{n}{2n-1} \le 1}\)

jednak nadal nie wiem jakie ciągi dobrać
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22174
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Granica ciągu z funkcją trygonometryczną

Post autor: a4karo »

\(\displaystyle{ ... \leq \frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \cdot \cos \frac{n}{2n-1}\leq ...}\)
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Re: Granica ciągu z funkcją truy

Post autor: Unforg1ven »

Łatwo to policzyć korzystając z następującego twierdzenia:
Iloczyn ciągu ograniczonego przez ciąg zbieżny do 0, jest zbieżny do 0.
(Jeżeli ją nie znasz/nie miałeś na wykładzie możesz spróbować udowodnić -stosunkowo dowód jest prosty)
Edit: Dopiero po wysłaniu postu pojawił się u mnie, post a4karo.
Meritum sprowadza się do tego samego.
Ostatnio zmieniony 20 sty 2019, o 19:07 przez Unforg1ven, łącznie zmieniany 3 razy.
czarodziej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 20 sty 2019, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno

Granica ciągu z funkcją trygonometryczną

Post autor: czarodziej91 »

Czyżby chodziło o coś takiego:
\(\displaystyle{ -\frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \leq \frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \cdot \cos \frac{n}{2n-1}\leq\frac{2n}{ 2n^{2} -1 }}\)
Granica równa zero z tw. o 3 ciągach ?
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 104 razy
Pomógł: 5 razy

Granica ciągu z funkcją trygonometryczną

Post autor: Unforg1ven »

czarodziej91 pisze:Czyżby chodziło o coś takiego:
\(\displaystyle{ -\frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \leq \frac{2n}{ 2n^{2} -1 } \cdot \cos \frac{n}{2n-1}\leq\frac{2n}{ 2n^{2} -1 }}\)
Granica równa zero z tw. o 3 ciągach ?
Tak
czarodziej91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 20 sty 2019, o 18:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krosno

Re: Granica ciągu z funkcją trygonometryczną

Post autor: czarodziej91 »

Ok. Bardzo dziękuję. Temat do zamknięcia.
ODPOWIEDZ