Pokaż, że ciąg rekurencyjny jest zbieżny

[rivit]

Pokaż, że ciąg rekurencyjny jest zbieżny:

\(\displaystyle{ a_1 = 1 \\ a_{n+1} = \frac{a_n^2 + a_n + 1}{a_n+3}}\)
Muszę pokazać, że jest monotoniczny i ograniczony, jednak nie mam pojęcia jak to zrobić. Czy mógłby rozwiązać ten przykład? Pozdrawiam.

[Janusz Tracz]

Wystarczy pokazać, że

\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) większy od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Indukcja wystarczy. Widać oczywiście że \(\displaystyle{ a_1 \ge \frac{1}{2}}\) więc jeśli \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{1}{2}}\) to \(\displaystyle{ a_{n+1}- \frac{1}{2}=\frac{(2a_n-1)(a_n+1)}{2\left( a_n+3\right) } \ge 0}\) co kończy dowód. Zatem mamy ograniczenie dolne.

\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg maleje. Wystarczy policzyć

\(\displaystyle{ a_n-a_{n+1}= \frac{2a_n-1}{a_n+3} \ge 0}\)

zatem wykazano że istnieje ograniczenie dolne oraz ciąg maleje, jest więc zbieżny.-- 11 sty 2019, o 18:00 --Poza tym skoro istnieje (już teraz wiemy) \(\displaystyle{ g}\) takie że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_{n+1}=g}\) to

\(\displaystyle{ g=\lim_{n \to \infty }\frac{a_n^2 + a_n + 1}{a_n+3}= \frac{g^2 + g + 1}{g+3}}\)

rozwiązując to równanie można wywnioskować że \(\displaystyle{ g= \frac{1}{2}}\). Zatem udało się nawet policzyć granicę tego ciągu.

[rivit]

A skąd wiemy jakie jest ograniczenie dolne? Tak o strzeliłeś?

Co mam napisać w założeniu indukcyjnym? Że ciąg jest mniejszy od tej liczby?
A co w tezie?

[Janusz Tracz]

Tu akurat spodziewałem się, że ciąg będzie malejący bo wystarczy policzyć kilka pierwszych wyrazów więc zacząłem badać \(\displaystyle{ a_n-a_{n+1}}\) i okazało się, że ciąg jest malejący o ile \(\displaystyle{ a_n \ge \frac{1}{2}}\) bo wtedy \(\displaystyle{ \frac{2a_n-1}{a_n+3} \ge 0}\). Zatem kandydatem na ograniczenie dolne była \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Zamieniłem więc kolejność i udowodniłem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) jest dobrym kandydatem i faktycznie ogranicza ten ciąg stąd dalej już wiedziałem, że ciąg będzie malał. Nie jest to jedyna metoda można też to robić poprzez szukania kandydata jako rozwiązanie \(\displaystyle{ g=\frac{g^2 + g + 1}{g+3}}\). Na forum jest kilka postów o tym ale teraz ich nie znajdę.

[a4karo]

Wystarczy pokazać, że

\(\displaystyle{ \bullet}\) Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) większy od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

To nie brzmi dobrze

[rivit]

No ja rozumiem, że po wypisaniu paru wyrazów mozna zauważyć, że ciąg jest malejący. Ale skąd wziąłeś \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)? Czysty strzał czy co

[Zahion]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) to również granica tego ciągu.

[rivit]

Ja rozumiem, ale to wywnioskowaliśmy później.....


Natomiast skąd mam wiedzieć przez co ciąg może być ograniczony?

[Zahion]

Treść zadania mówi wprost, że ciąg jest zbieżny - granica ciągu jest jak najbardziej dobrym kandydatem pod rozważania o ograniczeniu ciągu - wprost wynika to z twierdzenia (w jedną stronę), że ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zbieżny. W szczególności kiedy mówimy o ciągu stale rosnącym.
Granica ciągu, który rośnie od \(\displaystyle{ 1}\) może wynosić \(\displaystyle{ 1000}\) - dlatego też początkowe obliczenie potencjalnej granicy dla rekonesansu jest często stosowane.

\(\displaystyle{ a_n-a_{n+1}= \frac{2a_n-1}{a_n+3} \ge 0}\)

Poza tym Janusz Tracz dość jasno napisał skąd to wynika w tym wypadku. Skoro zauważyliśmy, że ciąg jest malejący, to musi zachodzić \(\displaystyle{ a_{n} \ge \frac{1}{2}}\), aby powyższa nierówność była prawdziwa. Oczywiście wyrazy ciągu są dodatnie.