Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) taki że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n(a_1^2+\dots+a_n^2)= 1.}\)
Wykaż zbieżność ciągu \(\displaystyle{ na_n^3.}\)
zbieżność ciągu
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
Re: zbieżność ciągu
z założeń od razu wynika, że \(\displaystyle{ a_n>0}\) dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\)
twierdzę też, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n = 0}\); w przeciwnym razie dla pewnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) byłoby nieskończenie wiele indeksów \(\displaystyle{ n_1<n_2<n_3<\ldots}\) takich, że \(\displaystyle{ a_{n_k}>\varepsilon}\), ale wtedy \(\displaystyle{ a_{n_k}(a_1^2+\ldots+a_{n_k}^2) \ge a_{n_k}(a_{n_1}^2+\ldots+a_{n_k}^2) > k\varepsilon^3}\) i przechodząc do granicy z \(\displaystyle{ k\to \infty}\) dowiedzielibyśmy się, że \(\displaystyle{ 1\ge\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(a_1^2+\ldots+a_{n+1}^2)^3 - (a_1^2+\ldots+a_{n}^2)^3}{(n+1)-n} = \\ \lim_{n\to\infty} (a_{n+1}^6+3a_{n+1}^4(a_1^2+\ldots+a_{n}^2)+3a_{n+1}^2(a_1^2+\ldots+a_{n}^2)^2) =3,}\)
więc z twierdzenia Stolza wynika, że granica ciągu \(\displaystyle{ \frac{(a_1^2+\ldots+a_n^2)^3}{n}}\) istnieje i równa się \(\displaystyle{ 3}\)
w takim razie \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} na_n^3 = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{(a_1^2+\ldots+a_{n}^2)^3} \cdot (a_n(a_1^2+\ldots+a_{n}^2))^3 = \frac 13 \cdot 1^3 = \frac 13}\)
twierdzę też, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_n = 0}\); w przeciwnym razie dla pewnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) byłoby nieskończenie wiele indeksów \(\displaystyle{ n_1<n_2<n_3<\ldots}\) takich, że \(\displaystyle{ a_{n_k}>\varepsilon}\), ale wtedy \(\displaystyle{ a_{n_k}(a_1^2+\ldots+a_{n_k}^2) \ge a_{n_k}(a_{n_1}^2+\ldots+a_{n_k}^2) > k\varepsilon^3}\) i przechodząc do granicy z \(\displaystyle{ k\to \infty}\) dowiedzielibyśmy się, że \(\displaystyle{ 1\ge\infty}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(a_1^2+\ldots+a_{n+1}^2)^3 - (a_1^2+\ldots+a_{n}^2)^3}{(n+1)-n} = \\ \lim_{n\to\infty} (a_{n+1}^6+3a_{n+1}^4(a_1^2+\ldots+a_{n}^2)+3a_{n+1}^2(a_1^2+\ldots+a_{n}^2)^2) =3,}\)
więc z twierdzenia Stolza wynika, że granica ciągu \(\displaystyle{ \frac{(a_1^2+\ldots+a_n^2)^3}{n}}\) istnieje i równa się \(\displaystyle{ 3}\)
w takim razie \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} na_n^3 = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{(a_1^2+\ldots+a_{n}^2)^3} \cdot (a_n(a_1^2+\ldots+a_{n}^2))^3 = \frac 13 \cdot 1^3 = \frac 13}\)