Granica z sinusem

[Papabile]

Hejka, mam takie zadanie: Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a _{n}}\) liczb rzeczywistych, taki że ciąg \(\displaystyle{ 2 a_{n+1}+\sin (a _{n})}\) jest zbieżny. Czy implikuje to zbieżność ciągu \(\displaystyle{ a _{n}}\)? I próbowałem podstawiać tutaj różnego rodzaju znane mi ciągi rozbieżne żeby ciąg \(\displaystyle{ 2 a_{n+1}+\sin (a _{n})}\) był zbieżny ale żaden nie pasuje, próbowałem nawet z ciągami które mają na zmianę liczby \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) (rozbieżny) ale wtedy mam równanie \(\displaystyle{ 2(x-y)=\sin (x)-\sin (y)}\) ale ono też ma rozwiązania jedynie kiedy \(\displaystyle{ x=y}\) (więc ciąg zbieżny) I pytanie moje, czy to daremna próba bo taki ciąg nie istnieje czy może można podać dowód że istnieje ale nie da się go wskazać?

[Zahion]

\(\displaystyle{ \left| 2 a_{n+1}+\sin (a _{n}) - g\right| < \epsilon}\)
\(\displaystyle{ \epsilon - g - \sin a_{n} < 2 a_{n+1} < \epsilon + g - \sin a_{n}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\epsilon - g - 1/2}{2} < \frac{\epsilon - g - \sin a_{n}}{2} < a_{n+1} < \frac{\epsilon + g - \sin a_{n}}{2} < \frac{\epsilon + g + 1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| a_{n+1} - \frac{g+1}{2} \right| < \frac{ \epsilon}{2}}\)
Podstawianie ciągów rozbieżnych, kiedy sinus jest ograniczony nie jest najlepszym możliwym podejściem do dedukowania.
Udowodnienie, że ciąg nie może być rozbieżny to raczej nie jest główna trudność tego zadania. To, że ciąg nie jest rozbieżny, nie oznacza, że jest zbieżny.

[Premislav]

Obawiam się, że powyższe nierówności są w umiarkowanym stopniu prawdziwe, gdy zajdzie \(\displaystyle{ g<0}\).

Ciekawy jest też ogólnie, zdawałoby się, wypływający z tych rachunków wniosek, że gdy
\(\displaystyle{ 2a_{n+1}+\sin(a_n)\rightarrow g,}\) to
\(\displaystyle{ a_n\rightarrow \frac{g+1}{2}}\). Polecam przetestować dla \(\displaystyle{ a_n=\frac 1 n}\).-- 7 gru 2018, o 03:20 --

To, że ciąg nie jest rozbieżny, nie oznacza, że jest zbieżny.

A to ciekawe (bez ironii), ja chyba spotkałem się z inną konwencją, zgodnie z którą ciąg rozbieżny to dokładnie taki, który nie jest zbieżny (nie ma granicy właściwej). Wyjaśnisz, co miałeś na myśli?

[Zahion]

Nie wiem czy ciekawy jest fakt, że z błędnych rachunków płyną błędne wnioski.
Oczywiście powyższe rozwiązanie jest błędne już przy przekształceniu wartości bezwzględnej, dzięki za zwrócenie uwagi - Artificem commendat opus.
Ciąg \(\displaystyle{ a_{n} = 2 \cdot (-1)^{n}}\) nie jest rozbieżny - nie oznacza to przecież, że jest zbieżny.

[a4karo]

Z tw. Lagrange's mamy
\(\displaystyle{ |2a_n+\sin a_n-(2a_m+\sin a_m)|=(2+\cos \xi_{nm})|a_n-a_m|\geq |a_n-a_m|}\)
skąd wynika że \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem Cauchy'ego.

[Premislav]

Problem w tym, że w zadaniu mamy warunek zbieżności
\(\displaystyle{ 2a_{{\red n+1}}+\sin a_n}\).

[Dasio11]

Niech

\(\displaystyle{ b = \lim_{n \to \infty} 2 a_{n+1} + \sin a_n}\).

Z założenia wiemy, że dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) dla dużych \(\displaystyle{ n}\) jest

\(\displaystyle{ \left| a_{n+1} - \frac{b - \sin a_n}{2} \right| \le \varepsilon}\).

Oznaczając

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{b - \sin x}{2}}\),

poprzednią nierówność możemy zapisać jako \(\displaystyle{ \left| a_{n+1} - f(a_n) \right| \le \varepsilon}\).

Odwzorowanie \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\) jest zwężające, a dokładniej

\(\displaystyle{ |f(x) - f(y)| = \frac{1}{2} | \sin x - \sin y | \le \frac{1}{2} |x-y|}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR}\).

Stąd na mocy zasady Banacha \(\displaystyle{ f}\) ma jedyny punkt stały \(\displaystyle{ \xi}\). Dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy

\(\displaystyle{ |a_{n+1} - \xi| \le | f(a_n) - f(\xi)| + \varepsilon \le \frac{1}{2} |a_n - \xi| + \varepsilon}\).

Nietrudno stąd wywnioskować, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \xi}\).


Można uniknąć zasady Banacha, bezpośrednio korzystając z nierówności

\(\displaystyle{ |a_{n+1} - f(a_n)| \le \varepsilon}\)

i z tego, że \(\displaystyle{ f}\) jest zwężające, ale to trochę więcej mielenia.