Strona 1 z 1

Zbadać zbieżność ciągu i wyznaczyć granice

: 24 lis 2018, o 16:00
autor: 85213
Ciąg przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=1, a_{2}=2 \\ a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}, n \ge 2 \end{cases}}\)
Wiem, że ciąg ten jest ograniczony z góry przez 4, ale nie wiem jak to wykazać. W sumie nawet bym tego nie zgadł, gdyby nie siła obliczeniowa mojego komputera.
Musze jeszcze wykazać, że ciąg ten jest rosnący. Jak na razie mam coś takiego:
1) sprawdzam, czy wyraz \(\displaystyle{ a_{3}>a_{2}}\) i jest to prawdą.
2) zakładam, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ a_{n+1}>a_{n} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}>\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n-2}} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n-2}}}\)
3) Sprawdzam, czy jest to wtedy prawdą dla wyrazu \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n+2}}>\sqrt{a_{n+1}} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n+1}}>\sqrt{a_{n-1}} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}>a_{n-1} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}>\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n-2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n-2}}}\) a korzystając z tezy (2) to jest prawdą, zatem ciąg ten jest rosnący.

Czy ten dowód indukcyjny jest prawidłowy? Jak zgadnąć i udowodnić, że ciąg ten jest ograniczony przez \(\displaystyle{ 4}\) i to jest jego granica?

Re: Zbadać zbieżność ciągu i wyznaczyć granice

: 24 lis 2018, o 19:45
autor: Premislav
Może ten post okaże się pomocny: 418738.htm

Zbadać zbieżność ciągu i wyznaczyć granice

: 24 lis 2018, o 21:42
autor: 85213
Niestety nie potrafię wyciągnąć z tamtego tematu nic pomocnego. Wiedziałem wcześniej o graficznej interpretacji ciągów rekurencyjnych, ale nie wiem jak można to zrobić, gdy n-ty wyraz zależy od dwóch poprzednich.
Jeśli mój dowód na to, że ciąg ten jest rosnący (pierwszy post) jest prawidłowy, to wymyśliłem żeby udowodnić to tak:
Załóżmy, że istnieje jakiś \(\displaystyle{ a_{n} \ge 4}\) oznacza to, że \(\displaystyle{ \sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n-2}} \ge 4}\)
Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest rosnący, a więc \(\displaystyle{ \sqrt{a_{n-1}} \ge 2}\),
\(\displaystyle{ a_{n-1} \ge 4}\)
Czyli wychodzi na to, że każdy wyraz ciągu musiałby być większy lub równy \(\displaystyle{ 4}\), co jest nieprawdą, gdyż pierwszy i drugi wyraz jest mniejszy od 4.
Czyli udowodniliśmy, że ciąg ten ma granice, teraz tylko trzeba ją znaleźć. Mamy mocne przeczucie, że jest to \(\displaystyle{ 4}\), ale sprawdźmy.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_{n+1}=\lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }a_{n-1}=g, g \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{g}+\sqrt{g}=g}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}=\sqrt{g}}\)
\(\displaystyle{ g=4}\)
Nie mam pojęcia czy wykonałem to zadanie prawidłowo. Proszę kogoś mądrzejszego o weryfikacje lub podpowiedź do innego sposobu.

Re: Zbadać zbieżność ciągu i wyznaczyć granice

: 24 lis 2018, o 21:59
autor: Premislav
Sorry, chyba faktycznie ten wątek wiele nie pomoże, źle spojrzałem.
Poprawnie pokazałeś, że ciąg jest rosnący (modulo pewne sformułowania).
Natomiast dowód, że ciąg jest ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 4}\) można przeprowadzić indukcyjnie, z wykorzystaniem znanej nierówności \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}\) (szczególny przypadek nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną).

Oczywiście \(\displaystyle{ a_1<4, \ a_2<4}\) mamy bezpośrednio z warunków początkowych. Teraz krok indukcyjny: przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+, \ n\ge 2}\) zachodzi \(\displaystyle{ a_{n}<4, \ a_{n-1}<4}\). Wówczas
\(\displaystyle{ \frac 1 2a_{n+1}= \frac{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n-1}}}{2} \le \sqrt{ \frac{a_{n}+a_{n-1}}{2} }<2}\),
czyli \(\displaystyle{ a_{n+1}<4}\), zgodnie z oczekiwaniami.

A jak zgadnąć? Dużo spać i jeść, uprawiać aktywność fizyczną (i fakultatywnie jeszcze inną, hiehiehie), urodzić się z dobrymi genami. Rozumiem, że problemem dla Ciebie jest to, że to ograniczenie górne pojawia się niejako „z kapelusza", ale czasem niestety tak musi pozostać.
Ewentualnie można napisać taką heurezę, że jeśli granica właściwa istnieje, nazwijmy ją \(\displaystyle{ g}\), to przechodząc do granicy w zależności rekurencyjnej (korzystamy z arytmetyki granic)
\(\displaystyle{ a_{n+1}=sqrt{a_n}+sqrt[a_{n-1}}}\)
mamy \(\displaystyle{ g=2\sqrt{g}}\), czyli \(\displaystyle{ g=4}\). Gdy ciąg rosnący (a pokazałeś już, że ten jest rosnący) jest zbieżny (tj. ma granicę właściwą; ciąg monotoniczny zawsze ma jakąś granicę, właściwą bądź nie), to ta granica jest kresem górnym zbioru wyrazów ciągu (w szczególności ograniczeniem górnym). Zatem jeśli ten ciąg jest zbieżny, to musi być ograniczony z góry przez \(\displaystyle{ 4}\). No ale to takie trochę naginanie…

Re: Zbadać zbieżność ciągu i wyznaczyć granice

: 24 lis 2018, o 22:10
autor: a4karo
Nierówność \(\displaystyle{ a_{n+1}\leq 4}\) indukcyjnie pokazuje sie tak: skoro \(\displaystyle{ a_1,\dots,a_n<4}\) to
\(\displaystyle{ a_{n+1}<\sqrt{4}+\sqrt{4}=4}\)

Re: Zbadać zbieżność ciągu i wyznaczyć granice

: 24 lis 2018, o 22:11
autor: Premislav
E tam, moje fajniejsze.