Zbadać zbieżność ciągu i wyznaczyć granice
: 24 lis 2018, o 16:00
Ciąg przedstawia się następująco:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=1, a_{2}=2 \\ a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}, n \ge 2 \end{cases}}\)
Wiem, że ciąg ten jest ograniczony z góry przez 4, ale nie wiem jak to wykazać. W sumie nawet bym tego nie zgadł, gdyby nie siła obliczeniowa mojego komputera.
Musze jeszcze wykazać, że ciąg ten jest rosnący. Jak na razie mam coś takiego:
1) sprawdzam, czy wyraz \(\displaystyle{ a_{3}>a_{2}}\) i jest to prawdą.
2) zakładam, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ a_{n+1}>a_{n} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}>\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n-2}} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n-2}}}\)
3) Sprawdzam, czy jest to wtedy prawdą dla wyrazu \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n+2}}>\sqrt{a_{n+1}} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}} \Leftrightarrow
\sqrt{a_{n+1}}>\sqrt{a_{n-1}} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}>a_{n-1} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}>\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n-2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n-2}}}\) a korzystając z tezy (2) to jest prawdą, zatem ciąg ten jest rosnący.
Czy ten dowód indukcyjny jest prawidłowy? Jak zgadnąć i udowodnić, że ciąg ten jest ograniczony przez \(\displaystyle{ 4}\) i to jest jego granica?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=1, a_{2}=2 \\ a_{n+1}=\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}, n \ge 2 \end{cases}}\)
Wiem, że ciąg ten jest ograniczony z góry przez 4, ale nie wiem jak to wykazać. W sumie nawet bym tego nie zgadł, gdyby nie siła obliczeniowa mojego komputera.
Musze jeszcze wykazać, że ciąg ten jest rosnący. Jak na razie mam coś takiego:
1) sprawdzam, czy wyraz \(\displaystyle{ a_{3}>a_{2}}\) i jest to prawdą.
2) zakładam, że istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że \(\displaystyle{ a_{n+1}>a_{n} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}>\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n-2}} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n-2}}}\)
3) Sprawdzam, czy jest to wtedy prawdą dla wyrazu \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n+2}}>\sqrt{a_{n+1}} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}} \Leftrightarrow
\sqrt{a_{n+1}}>\sqrt{a_{n-1}} \Leftrightarrow}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1}>a_{n-1} \Leftrightarrow \sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{n-1}}>\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n-2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a_{n}}>\sqrt{a_{n-2}}}\) a korzystając z tezy (2) to jest prawdą, zatem ciąg ten jest rosnący.
Czy ten dowód indukcyjny jest prawidłowy? Jak zgadnąć i udowodnić, że ciąg ten jest ograniczony przez \(\displaystyle{ 4}\) i to jest jego granica?