Obliczyć granice ciągów.

[Kaarina]

Proszę o rozwiązanie poniższych przykładów

1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty } \sqrt[n]{ n^{3} +\cos (n!)}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty }\left( \frac{n-3}{n+1} \right)^{ \sqrt{4 n^{2}+8} }}\)

[Jan Kraszewski]

1) Tw. o trzech ciągach.

JK

[janusz47]

Zadanie 2

Sprowadzenie do granicy \(\displaystyle{ exp().}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n-3}{n+1}\right)^{\sqrt{4n^2+8}}= \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n+1- 4}{n+1}\right)^{\sqrt{4n^2+8}}=\lim_{n\to \infty}\left( 1 -\frac{4}{n+1}\right)^{\sqrt{4n^2+8}}=\left[ \lim_{n\to \infty}\left (1 + \frac{1}{-\frac{n+1}{4}}\right)^{-\frac{n+1}{4}\right]^ \frac{-4\sqrt{4n^2+8}}{n+1}} = \left[ \lim_{n\to \infty}\left (1 + \frac{1}{-\frac{n+1}{4}}\right)^{-\frac{n+1}{4}\right]^ \frac{-8n\sqrt{1 +\frac{8}{4n^2}}}{n+1}}=\\ = e^{-8}.}\)

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ ...=\left[ \lim_{n\to \infty}\left (1 + \frac{1}{-\frac{n+1}{4}}\right)^{-\frac{n+1}{4}\right]^ \frac{-4\sqrt{4n^2+8}}{n+1}} = \left[\lim_{n\to \infty}\left (1 + \frac{1}{-\frac{n+1}{4}}\right)^{-\frac{n+1}{4}\right]^ \frac{-8n\sqrt{1 +\frac{8}{4n^2}}}{n+1}}}\)

No jednak te nawiasy kwadratowe to trzeba inaczej postawić.

JK

[Kaarina]

Bardzo dziękuje

[janusz47]

A może klamrowe?

[Jan Kraszewski]

Wszystko jedno, byle nie przed granicą.

JK