Badanie ciągu

[XYZmat]

Wykaż, że ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest rosnący i ograniczony, przy założeniu, że:

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{1}{2} \\
a_{2}=1 \\
a_{n}=\frac{1}{2}a_{n-1}+ \sqrt{ a_{n-2}} \mbox{ dla } n \ge 3}\).

Jak zabrać się za coś takiego, skoro we wzorze na \(\displaystyle{ a_{n}}\) mam dwa inne wyrazy, co trochę mi komplikuje rozumowanie

[Premislav]

Udowodnij indukcyjnie, że \(\displaystyle{ a_n<4}\).
Jeśli chodzi o dowód, że ciąg jest rosnący, również wystarczy indukcja matematyczna.

[XYZmat]

Skąd akurat pomysł na \(\displaystyle{ 4}\)? Jak to uzasadnić?

[mmss]

Podstaw za \(\displaystyle{ a_{n}}\) liczbę \(\displaystyle{ g}\) i rozwiąż równianie. To jest potencjalny kandydat na granicę tego ciągu jeśli jest on monotoniczny i ograniczony.

-- 18 lis 2018, o 01:21 --

I może jeszcze uwaga, jeśli \(\displaystyle{ a_{n}}\) dąży do \(\displaystyle{ g}\) to również \(\displaystyle{ a_{n-1}}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}}\). Badając granicę od kolejnego/poprzedniego wyrazu, nie zmieniasz jego granicy.

A i w tym wypadku akurat widać, że liczba \(\displaystyle{ 4}\) spełnia to równanie. No i oczywiście wiemy, że ciąg może mieć tylko jedną granicę. Skoro już mamy potencjalnego kandydata na granicę, warto się zastanowić, czy ta granica jest ograniczeniem ciągu z góry/dołu, jak zachowuje się kilka początkowych wyrazów, albo od razu można przepałować indukcją w którąś ze stron i zobaczyć co z tego wyjdzie. Ciągi rekurencyjne to takie typy że nie masz jednego poprawnego schematu - są różne metody, i zadania potrafią być naprawdę truuudne.