Czy ciąg jest ograniczny z góry?

[Big_Boss1997]

Jak w tym przykładzie sprawdzić, czy ciąg jest ograniczony z góry (bez liczenia granicy przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)) ?

\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)}\)

[a4karo]

Pomnoż przez \(\displaystyle{ 1-\frac12}\)

[Big_Boss1997]

a4karo, przepraszam. Nie rozumiem o co chodzi z tym mnożeniem.

[Jan Kraszewski]

A pomnożyłeś?

\(\displaystyle{ \left( 1-\frac12\right) \cdot \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=\left( 1-\frac{1}{2^2}\right) \cdot\left( 1 + \frac{1}{2^2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)=...}\)

JK

[Big_Boss1997]

Jan Kraszewski, ok, nie zauważyłem tego wcześniej.

[Dasio11]

Ok, ale

\(\displaystyle{ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right) = \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \left( 1 + \frac{1}{8} \right)}\)

i co z tym?

[a4karo]

No faktycznie. Posypało się. Już chyba drugi raz nie zauważyłem podobnego motywu. Sorry...

[Premislav]

Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le \left( \frac{\left( 1+\frac 1 2\right)+\ldots+\left( 1+\frac{1}{2^n}\right) }{n} \right)^n <\left( \frac{n+1}{n}\right)^n}\)
a znany jest fakt, że to ostatnie zbiega do \(\displaystyle{ e}\) (jak nie chcesz korzystać z tej ostatniej granicy, to ogranicz \(\displaystyle{ \left( \frac{n+1}{n}\right)^n}\) z góry przez \(\displaystyle{ 3}\)).

[Jan Kraszewski]

No faktycznie. Posypało się. Już chyba drugi raz nie zauważyłem podobnego motywu. Sorry...

A ja nie zauważyłem, że a4karo nie zauważył. Sorry... Na szczęście Dasio11 zawsze czuwa.

JK

[Premislav]

Ponieważ nie każdy zna nierówności między średnimi (acz polecam je poznać!), to pozwolę sobie dodać jeszcze jedno rozwiązanie:
skorzystamy ze znanej nierówności \(\displaystyle{ 1+x\le e^x}\) (tutaj zawsze będzie \(\displaystyle{ x>0}\), więc nierówność będzie nawet ostra, ale to szczegół):
ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\in \NN^+, n>1}\). Wtedy na mocy wspomnianej nierówności:
\(\displaystyle{ 1+\frac 1 2\le e^{\frac 1 2}\\1+\frac 1 4\le e^{\frac 1 4}\\\ldots \\ \ldotds 1+\frac{1}{2^n}\le e^{\frac{1}{2^n}}}\)
Mnożymy tych \(\displaystyle{ n}\) nierówności stronami (możemy tak zrobić, gdyż w każdej nierówności obie strony są dodatnie) i mamy
\(\displaystyle{ \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \cdot ... \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 ^{n} } \right)\le e^{\frac 1 2+\ldots+\frac{1}{2^n}}<e}\)
Ostatnia nierówność wynika z tego, że \(\displaystyle{ e^x}\) jest funkcją rosnącą i że \(\displaystyle{ \frac 1 2+ \ldots+\frac{1}{2 ^{n}}<1}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\).