Granica ciągu

[85213]

Mam obliczyć granice: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } ( \sqrt{2}- \sqrt[3]{2} )( \sqrt{2} - \sqrt[5]{2})...( \sqrt{2}- \sqrt[2n+1]{2})}\) Wszystkie wyrazy są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) i większe od \(\displaystyle{ 0}\), a więc granica będzie równa \(\displaystyle{ 0}\). Problem w tym, że nie wiem jak to uzasadnić, na jakie twierdzenia się powołać i jak to zapisać w sposób matematyczny, a nie opisowy.

[Rafsaf]

Można to oszacować i z tw o 3 ciągach

\(\displaystyle{ 0<( \sqrt{2}- \sqrt[3]{2} )( \sqrt{2} - \sqrt[5]{2})...( \sqrt{2}- \sqrt[2n+1]{2})< ( \sqrt{2}- \sqrt[2n+1]{2}) ^{n}}\)

Wystarczy tylko uzasadnić dlaczego
\(\displaystyle{ 0<( \sqrt{2}- \sqrt[2n+1]{2})<1}\)

Bo jak wiadomo gdy \(\displaystyle{ 0<q<1}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } q^{n}=0}\)

[Lorek]

Wszystkie wyrazy są mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) i większe od \(\displaystyle{ 0}\), a więc granica będzie równa \(\displaystyle{ 0}\).

Wystarczy tylko uzasadnić dlaczego
\(\displaystyle{ 0<( \sqrt{2}- \sqrt[2n+1]{2})<1}\)

Bo jak wiadomo gdy \(\displaystyle{ 0<q<1}\) to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } q^{n}=0}\)

No, to tak nie do końca. Nie jest prawdą, że jeśli \(\displaystyle{ 0<a_n<1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_1a_2\cdots a_n=0}\). Jest tak natomiast gdy \(\displaystyle{ 0<a_n<q<1}\).

[Rafsaf]

Oszacowałem z góry każdy wyraz tego iloczynu przez największy wyraz czyli przez iloczyn \(\displaystyle{ ( \sqrt{2}- \sqrt[2n+1]{2})^{n}}\) i do ciągu o takim wyrazie ogólnym stosuje się to co zacytowałeś(w moim zamyśle, bo po tym jak napisałem to w sumie nie wiadomo do czego). No chyba że tu też jest gdzieś błąd a ja go nie widzę, tak też może być.

[Lorek]

W tym przykładzie jest ok, ale w ogólności trzeba uważać. A najlepiej jeszcze skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt[2n+1]{2}<\sqrt{2}-1}\) i sprawa jest jasna.