Obliczyć granice ciągu
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Obliczyć granice ciągu
Mam obliczyć granice ciągu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+x+...+x^n}{1+y+...+y^n}}\), gdzie\(\displaystyle{ \left| x\right|<1}\) i \(\displaystyle{ \left| y\right|<1}\). Nie mam pomysłu jak to ugryźć.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Obliczyć granice ciągu
Wskazówka:
\(\displaystyle{ 1+x+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\)
i podobnie z mianownikiem.
\(\displaystyle{ 1+x+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\)
i podobnie z mianownikiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 7 sty 2018, o 19:29
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 6 razy
Obliczyć granice ciągu
Skąd się wzięła ta równość?
Wychodzi z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} }{ \frac{1-y^{n+1}}{1-y} }=\lim_{ n\to \infty } \frac{(1-x^{n+1})(1-y)}{(1-x)(1-y^{n+1})} = \frac{1-y}{1-x}}\) ?
Wychodzi z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} }{ \frac{1-y^{n+1}}{1-y} }=\lim_{ n\to \infty } \frac{(1-x^{n+1})(1-y)}{(1-x)(1-y^{n+1})} = \frac{1-y}{1-x}}\) ?
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Obliczyć granice ciągu
Suma ciągu geometrycznego. Można od razu podać wynik, powołując się na arytmetykę granic mamy dwa zbieżne ciągi geometryczne więc:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+x+...+x^n}{1+y+...+y^n}= \frac{ \sum_{k=0}^{ \infty }x^k }{\sum_{k=0}^{ \infty }y^k}= \frac{ \frac{1}{1-x} }{ \frac{1}{1-y} }= \frac{1-y}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+x+...+x^n}{1+y+...+y^n}= \frac{ \sum_{k=0}^{ \infty }x^k }{\sum_{k=0}^{ \infty }y^k}= \frac{ \frac{1}{1-x} }{ \frac{1}{1-y} }= \frac{1-y}{1-x}}\)