Obliczyć granice ciągu

[85213]

Mam obliczyć granice ciągu \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+x+...+x^n}{1+y+...+y^n}}\), gdzie\(\displaystyle{ \left| x\right|<1}\) i \(\displaystyle{ \left| y\right|<1}\). Nie mam pomysłu jak to ugryźć.

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ 1+x+\ldots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\)
i podobnie z mianownikiem.

[85213]

Skąd się wzięła ta równość?
Wychodzi z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ \frac{1-x^{n+1}}{1-x} }{ \frac{1-y^{n+1}}{1-y} }=\lim_{ n\to \infty } \frac{(1-x^{n+1})(1-y)}{(1-x)(1-y^{n+1})} = \frac{1-y}{1-x}}\) ?

[Janusz Tracz]

Suma ciągu geometrycznego. Można od razu podać wynik, powołując się na arytmetykę granic mamy dwa zbieżne ciągi geometryczne więc:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+x+...+x^n}{1+y+...+y^n}= \frac{ \sum_{k=0}^{ \infty }x^k }{\sum_{k=0}^{ \infty }y^k}= \frac{ \frac{1}{1-x} }{ \frac{1}{1-y} }= \frac{1-y}{1-x}}\)