Matematyka.pl

Witam

Mam takie pytanie, nie wiem do końca jak sformułować problem, co za tym idzie jak go szukać w google'u, a nawet w którym dziale to umieścić.
Gdybym zapisał przykładowy ciąg:
\(\displaystyle{ 1+2-3-4+5+6-7-8+...+?}\) to czy istnieje jakiś w miarę przystępny sposób na zapisanie n-tego elementu?
Gdyby to było:
\(\displaystyle{ 1-2+3-4+...(-1)^{n+1}n}\) to fragment \(\displaystyle{ (-1)^{n+1}}\) rozwiązuje problem, gdy zmiana następuje co 3 element to nie wiem jak to ugryźć.

W sumie z ciekawości można też zadać pytanie co w wypadku zmiany znaku np. co 4 element albo n element?

Zawsze można rozważać ciąg dany poprzez układ warunków

\(\displaystyle{ a_n= \begin{cases} n \ \ \ \ \text{dla} \ \ n=4k-3 \ \text{lub} \ n=4k-2 \\ -n \ \ \text{dla} \ \ n=4k-1 \ \text{lub} \ n=4k \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ \k\in\NN}\) (bez zera). Wtedy kładąc \(\displaystyle{ k=1}\) mamy \(\displaystyle{ a_1=1}\), \(\displaystyle{ a_2=2}\) oraz \(\displaystyle{ a_3=-3}\), \(\displaystyle{ a_4=-4}\) za jednym zamachem. Taki zapis nie jest konieczny można to zapisać za pomocą kongruencji \(\displaystyle{ \bmod 4}\) i sprawdzać odpowiednio reszty z dzielenia i do nich dopasowywać znak. Można też \(\displaystyle{ a_n}\) zapisać wzorem jawnym co chyba najbardziej Cię interesuje. Więc rozpatrzmy ciąg

\(\displaystyle{ \left\{ \omega_n\right\}_{n=1} =\left\{ 0,0,1,1,0,0,1,1...\right\}}\)

i na jego podstawie można budować ciąg jako \(\displaystyle{ a_n=(-1)^{\omega_n}n}\). Poznanie jawne ciągu \(\displaystyle{ \omega_n}\) można zrobić na wiele sposobów. Matematyczne robi się to (można to zrobić) poprzez zapisanie rekurencji \(\displaystyle{ \omega_n=\omega_{n+4}}\) z warunkami początkowy \(\displaystyle{ \omega_1=0 \wedge \omega_2=0 \wedge \omega_3=1 \wedge \omega_4=1}\). Rekurencje rozwiązujemy na przykład transformatą \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) dostając jawnie

\(\displaystyle{ \omega_n= \frac{\cos\left( \frac{ \pi n}{2} \right) -\sin\left( \frac{ \pi n}{2} \right)+1}{2}}\)

Ostatecznie podstawiamy zapisując że \(\displaystyle{ a_n=(-1)^{ \frac{1}{2} \cdot \left(\cos\left( \frac{ \pi n}{2} \right) -\sin\left( \frac{ \pi n}{2} \right)+1 \right) }n}\). Podałem ten sposób jako pierwszy bo odpowiada on też na Twoje kolejne pytanie z uogólnieniem tego na dowolną kombinację zmieniających się cyklicznie znaków (tu mamy utożsamianie \(\displaystyle{ \left( +,+,-,-\right)\sim\left( 0,0,1,1\right)}\)). Sposób tworzenia takich ciągów jest taki sam.

Jeśli mamy jednak jakiś szczególny przypadek (najczęściej prosty) to transformata \(\displaystyle{ \mathcal{Z}}\) może być niepotrzebną komplikacją. Czasem na takie cykliczne ciągi można patrzeć jak na obrotu na okręgu jednostkowym wyrażając to języcznikiem funkcji zespolonej (np. \(\displaystyle{ e^{i \pi n}}\)) i tam doszukujemy się interesującego cyklu.

Dorzucę możliwość wykorzystania:
okresowości funkcji trygonometrycznych, np :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \frac{1}{ \sqrt{2} }\sin \left( \frac{- \pi }{4}+ \frac{n \pi }{2} \right)+ \frac{3}{2} }n= 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...}\)

cechy (podłogi) i sufitu, np:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[ \frac{n-1}{2} \right] }n= 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[ \frac{n-1}{3} \right] }n= 1+2+3-4-5-6+7+8+9-...}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[ \frac{n-1}{4} \right] }n= 1+2+3+4-5-6-7-8+9+...}\)

....

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[ \frac{n-1}{p} \right] }n= ...}\)


\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \lceil \frac{2n+3}{4} \rceil }n= 1+2-3-4+5+6-7-8+9+...}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \lceil \frac{2n+5}{6} \rceil }n= 1+2+3-4-5-6+7+8+9-...}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \lceil \frac{2n+7}{8} \rceil }n= 1+2+3+4-5-6-7-8+9+...}\)

....

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k}(-1)^{ \left[ \frac{2n-1+2p}{2p} \right] }n= ...}\)

Dziękuje za wyjaśnienie, wygląda interesująco