Niech dla każdego \(\displaystyle{ k=1,2,3,...,n}\)
\(\displaystyle{ a_k=1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{2k-1}}\)
Pokaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2= \frac{n}{2}}\)
Suma odwrotności liczb nieparzystych
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: suma odwrotności liczb nieparzystych
Indukcja po \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy po prostu równość \(\displaystyle{ \frac 1 2=\frac 1 2}\). Przypuśćmy teraz, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2= \frac{n}{2}}\)
Pokażemy, że wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_{n+1}^2+(a_{n+1}-a_1)^2+(a_{n+1}-a_2)^2 +...+(a_{n+1}-a_{n})^2= \frac{n+1}{2}}\)
Oznaczmy bowiem \(\displaystyle{ A_n=\frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2}\). Wówczas ze wzoru na różnicę kwadratów mamy
\(\displaystyle{ A_{n+1}-A_n=\\=\frac 1 2(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n) + \sum_{k=1}^{n-1}\left( (a_{n+1}-a_k)^2-(a_n-a_k)^2\right) +(a_{n+1}-a_n)^2=\\=\frac 1 2(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n) + \sum_{k=1}^{n-1}\left( a_{n+1}-a_n\right) \left(a_{n+1}+a_n-2a_k \right) +(a_{n+1}-a_n)^2=\\=(a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n-2 \sum_{k=1}^{n-1}a_k \right)}\)
Teraz popatrzmy na tę sumę: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}a_k}\)
Zauważmy, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{2m-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in\left\{ 1\ldots n-1\right\}}\) wystąpi w niej dokładnie \(\displaystyle{ n-m}\) razy (ponieważ mamy \(\displaystyle{ n-1}\) wyrazów w tej sumie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}a_k}\) i ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{2m-1}}\) nie wejdzie w skład \(\displaystyle{ m-1}\) pierwszych wyrazów, ponieważ \(\displaystyle{ a_k}\) kończy się wyrażeniem \(\displaystyle{ \frac{1}{2k-1}}\)).
Zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=1}^{n-1}a_k =2 \sum_{m=1}^{n-1} \frac{n-m}{2m-1}=\\=(2n -1)\sum_{m=1}^{n-1}\frac{1}{2m-1}-2 \sum_{m=1}^{n-1} \frac{m-\frac 1 2}{2m-1}=\\=(2n-1)a_{n-1}- (n-1)}\)
Cała sprawa sprowadza się więc do wykazania, że zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1}\right)=\\=\frac 1 2}\)
W tym celu odnotujmy, że
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2n+1}\\ a_n=a_{n-1}+\frac{1}{2n-1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ (a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1}\right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)a_{n+1}+\left( n-\frac 3 2\right) a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1} \right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)(a_{n+1}-a_{n-1})+\left( n-\frac 3 2\right) (a_n-a_{n-1})+n-1 \right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)\cdot \left( \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\right) +\left( n-\frac 3 2\right)\cdot \frac{1}{2n-1}+n-1\right)=\\=\frac 1 2}\)
Zatem w kroku indukcyjnym zakładając, że \(\displaystyle{ A_{n}=\frac{n}{2}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i dodając stronami \(\displaystyle{ A_{n+1}-A_n=\frac 1 2}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ A_{n+1}=\frac{n+1}{2}}\), c.k.d.
A może istnieje ładniejsze podejście? Bo to jest niestety śmiertelnie nudne.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2= \frac{n}{2}}\)
Pokażemy, że wówczas
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a_{n+1}^2+(a_{n+1}-a_1)^2+(a_{n+1}-a_2)^2 +...+(a_{n+1}-a_{n})^2= \frac{n+1}{2}}\)
Oznaczmy bowiem \(\displaystyle{ A_n=\frac{1}{2}a_n^2+(a_n-a_1)^2+(a_n-a_2)^2 +...+(a_n-a_{n-1})^2}\). Wówczas ze wzoru na różnicę kwadratów mamy
\(\displaystyle{ A_{n+1}-A_n=\\=\frac 1 2(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n) + \sum_{k=1}^{n-1}\left( (a_{n+1}-a_k)^2-(a_n-a_k)^2\right) +(a_{n+1}-a_n)^2=\\=\frac 1 2(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n) + \sum_{k=1}^{n-1}\left( a_{n+1}-a_n\right) \left(a_{n+1}+a_n-2a_k \right) +(a_{n+1}-a_n)^2=\\=(a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n-2 \sum_{k=1}^{n-1}a_k \right)}\)
Teraz popatrzmy na tę sumę: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}a_k}\)
Zauważmy, że ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{2m-1}}\), gdzie \(\displaystyle{ m\in\left\{ 1\ldots n-1\right\}}\) wystąpi w niej dokładnie \(\displaystyle{ n-m}\) razy (ponieważ mamy \(\displaystyle{ n-1}\) wyrazów w tej sumie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n-1}a_k}\) i ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{2m-1}}\) nie wejdzie w skład \(\displaystyle{ m-1}\) pierwszych wyrazów, ponieważ \(\displaystyle{ a_k}\) kończy się wyrażeniem \(\displaystyle{ \frac{1}{2k-1}}\)).
Zatem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{k=1}^{n-1}a_k =2 \sum_{m=1}^{n-1} \frac{n-m}{2m-1}=\\=(2n -1)\sum_{m=1}^{n-1}\frac{1}{2m-1}-2 \sum_{m=1}^{n-1} \frac{m-\frac 1 2}{2m-1}=\\=(2n-1)a_{n-1}- (n-1)}\)
Cała sprawa sprowadza się więc do wykazania, że zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1}\right)=\\=\frac 1 2}\)
W tym celu odnotujmy, że
\(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+\frac{1}{2n+1}\\ a_n=a_{n-1}+\frac{1}{2n-1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ (a_{n+1}-a_n)\left(\frac 3 2 a_{n+1}-\frac 1 2 a_n+(n-1)a_{n+1}+(n-1)a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1}\right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)a_{n+1}+\left( n-\frac 3 2\right) a_n+n-1-(2n-1)a_{n-1} \right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)(a_{n+1}-a_{n-1})+\left( n-\frac 3 2\right) (a_n-a_{n-1})+n-1 \right)=\\= \frac{1}{2n+1}\left( \left( n+\frac 1 2\right)\cdot \left( \frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\right) +\left( n-\frac 3 2\right)\cdot \frac{1}{2n-1}+n-1\right)=\\=\frac 1 2}\)
Zatem w kroku indukcyjnym zakładając, że \(\displaystyle{ A_{n}=\frac{n}{2}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i dodając stronami \(\displaystyle{ A_{n+1}-A_n=\frac 1 2}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ A_{n+1}=\frac{n+1}{2}}\), c.k.d.
A może istnieje ładniejsze podejście? Bo to jest niestety śmiertelnie nudne.