Granica ciągu

[Uczen227]

Proszę o rozwiązanie granicy, albo o podanie jakiejś wskazówki.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\)

[SlotaWoj]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} 2^\frac{1}{n} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}}\)

[Uczen227]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} 2^\frac{1}{n} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}}\)

Zapomniałam dodać za nawiasem potęgi, zatem napisana przez Pana zależność nie będzie prawdziwa.

[a4karo]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty} 2^\frac{1}{n} + \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}}\)

Zapomniałam dodać za nawiasem potęgi, zatem napisana przez Pana zależność nie będzie prawdziwa.

Ta równość jest i będzie prawdziwa. A to, że zapomniałaś o czymś, to zupełnie inna sprawa.

[Uczen227]

Proszę o rozwiązanie granicy, albo o podanie jakiejś wskazówki.
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\)

W tym przypadku już nie będzie

[a4karo]

Podstawy logiki się kłaniają
Zdanie: jak światło jest zielone, to mogę przejść przez ulicę. To zdanie jest prawdziwe. Czy sądzisz, że przestanie być prawdziwe gdy światło będzie czerwone?

SlotaWoj nie pisał o \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\) lecz o czymś zupełnie innym.

[Uczen227]

Podstawy logiki się kłaniają
Zdanie: jak światło jest zielone, to mogę przejść przez ulicę. To zdanie jest prawdziwe. Czy sądzisz, że przestanie być prawdziwe gdy światło będzie czerwone?

SlotaWoj nie pisał o \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\) lecz o czymś zupełnie innym.

Ale ja proszę o pomoc przy zadaniu \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}}\), więc nie wiem po co ta agresja.

Jeśli nie możesz pomóc to się po prostu nie odzywaj i nie siej hejtu.
Bądźmy dla siebie życzliwsi, to forum służy chyba do pomocy, a nie do obrażania siebie nawzajem.

[a4karo]

A możesz wskazać w którym miejscu Cię obraziłem? Wskazując błąd logiczny?

[Premislav]

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(2^{\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}\right) ^{n}=\\=\lim_{n\to\infty} \left(1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right)\right) ^{n}}\)
i teraz tak:
jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ a_n=\left(1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right)\right) ^{n}}\),
to
\(\displaystyle{ \ln a_n= \frac{\ln\left( 1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right)\right) }{ \frac{1}{n} }=\\=\frac{\ln\left(1+\left(2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}\right) \right)}{2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}}\cdot \frac{2^{\frac{1}{n}}-1+\frac{1}{n}}{\frac 1 n}}\)
i teraz korzystając ze znanych granic specjalnych:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1\\ \lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a, \ a>0}\)
i z definicji Heinego granicy funkcji otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\ln a_n=1+\ln 2}\),
a zatem z ciągłości \(\displaystyle{ e^x}\) jest
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n= \lim_{n \to \infty } e^{\ln a_n}=e^{1+\ln 2}=2e}\)

[Uczen227]

Dziękuję

[janusz47]

Można znacznie prościej, wyłączając \(\displaystyle{ 2^{\frac{1}{n}}}\) przed nawias i sprowadzając \(\displaystyle{ n-}\) tą potęgę dwumianu do \(\displaystyle{ e :}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\left(2^{\frac{1}{n}} +\frac{1}{n}\right)^{n}= \lim_{n\to \infty}2\left( 1 + \frac{1}{n\cdot 2^{\frac{1}{n}}}\right)^{n} = 2\cdot \lim_{n\to \infty}\left[ \left(1 + \frac{1}{n\cdot 2^{\frac{1}{n}}}\right) ^{n\cdot 2^{\frac{1}{n}}}\right]^{\frac{1}{2^{\frac{1}{n}}}}= \\ = 2\cdot \lim_{n\to \infty} e^{\frac{1}{2^{n}}}= 2e.}\)