Wyznaczyć, jeśli istnieją, granice

[spejson_]

Wyznaczyć, jeśli istnieją, granice (właściwe albo niewłaściwe):

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2} \cdot 4^n+n \cdot 3^n+5n^3}}\)

po 1 jak sprawdzic czy istnieje granica? tzn mam sprawdzać zbieżność czy jak?
po 2 jak obliczyc ta granice? normalnie wyciągnąłbym przed nawias \(\displaystyle{ 4^n}\) lub \(\displaystyle{ n^3}\) ale w tym wypadku nic to nie da chyba

Dzieki za kazda odp

[Kartezjusz]

Wstaw bardzo duże n i dowiesz się jakie powinny być granice

[spejson_]

Wstaw bardzo duże n i dowiesz się jakie powinny być granice

Tzn? zakładam ze do \(\displaystyle{ 1}\) ale jak to zrobic?

[kamil13151]

Tzn? zakładam ze do \(\displaystyle{ 1}\) ale jak to zrobic?

Zastanów się jeszcze raz.

Takie granice najczęściej potrzebują twierdzenia o trzech ciągach.

Polecam przyszłościowo z całym wątkiem się zapoznać

[Premislav]

\(\displaystyle{ 4\cdot \left( \sqrt[n]{n}\right)^{-2} = \sqrt[n]{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n} \le \sqrt[n]{ \frac{1}{n^2} \cdot 4^n+n\cdot 3^n+5n^3} \le \\\le \sqrt[n]{n^3 \cdot 4^n+n^3\cdot 4^n+n^3\cdot 4^n}=4\cdot \left(\sqrt[n]{n}\right)^3 \cdot \sqrt[n]{3}}\)
dla odpowiednio dużych \(\displaystyle{ n}\). Szacowanie z dołu działa zawsze, co do szacowania z góry, to
dla \(\displaystyle{ n\ge 2}\) mamy \(\displaystyle{ 4^n>5,}\) a więc i \(\displaystyle{ n^3\cdot 4^n>5n^3}\).
Szacowanie z dołu uzyskałem tak, że wywaliłem wszystko oprócz najbardziej znaczącego wyrazu, a szacowanie z góry zgadłem.
No i można zastosować twierdzenie o trzech ciągach.-- 24 lut 2018, o 11:34 --No i należy tu jeszcze znać takie granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n}=1\\ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a}=1, \text{ gdzie } a}\)
to dowolna stała dodatnia.

A skąd wiedziałem, który wyraz dla dużych \(\displaystyle{ n}\) jest najbardziej znaczący?
Policzyłem w pamięci granice
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n\cdot 3^n}{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{5n^3}{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n}}\)

[spejson_]

Dzieki za odp, nie rozumiem jeszcze jak obliczenie tych granic na dole pomogło w wyznaczaniu najbardziej znaczacego wyrazu?

[Premislav]

Ponieważ
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n\cdot 3^n}{\frac{1}{n^2}\cdot 4^n}=0}\), zatem dla dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}\cdot 4^n>>n\cdot 3^n}\)
itd.