Matematyka.pl

Udowodnij lub obal twierdzenie:
Dla każdej liczby niewymiernej istnieje ciąg liczb wymiernych zbieżny do tej liczby.

Twierdzenie jest prawdziwe, dowód można oprzeć np na konstrukcji Dedekinda liczb rzeczywistych lub na lemacie:
Dla każdej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ \alpha}\) i każdej liczby \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}}\) istnieją takie liczby \(\displaystyle{ p_{n}\in \mathbb{Z}, \ q_{n}\in \mathbb{N}}\), że:
\(\displaystyle{ \left|\alpha - \frac{p_{n}}{q_{n}}\right| < \frac{1}{n q_{n}}}\)

Sam chętnie zobaczę inne propozycje

Niech ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) będzie rozwinięciem dziesiętnym liczby\(\displaystyle{ \alpha}\) z dokładnością do \(\displaystyle{ n}\) miejsc po przecinku. Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to }a_n=\alpha}\)

Powinno się nadać, ale.. skąd wynika istnienie takiego rozwinięcia?

MATał napisa:

Dla każdej liczby niewymiernej istnieje ciąg liczb wymiernych zbieżny do tej liczby.

nop zapodał bym do rozwazenia nast
tematy: tj tak więc
1 wykaz ze ciąg \(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n + \frac{r}{x_n})}\)
jest zbiezny do \(\displaystyle{ \sqrt{r}, \ r \in Q}\)
czy jest monotoniczny, jak szybka jest jego zbieznosc?
2. czy zbior \(\displaystyle{ X=\{ \frac{a+b\sqrt{r}}{c}, \ a, b,c , r>0 \ r\in Q \ \}}\)
jest gesty w R ?
etc
ps.
Informatycy twierdza, ze choc wartosc \(\displaystyle{ x_1}\) w rekurencji
wypisnej powyzej mozna wziasc dowolnie, z punktu matemat
jest to owszem bez znaczenia, to jednak algorytm działa najszybciej
wrecz znakomicie, gdy .... \(\displaystyle{ x_1 [\sqrt{r}]}\)
I tak np
r=78, x1 =9
\(\displaystyle{ x_2 8,83333...}\)
\(\displaystyle{ x_3 8,831761...}\)
etc
\(\displaystyle{ \sqrt{78}= 8,831760866....}\)

A co np z liczbami przestępnymi?

Chodizło mi tu o to -i taka luzna propozycje dałem szukać zbioru
Y gestego w R i t. ze do każdego elementu y z Y potrafimy efektywnie
wyznaczyc ciag el. złozony z liczb wymiernych, zbiezny do y

Ja osobiście rozmyślałem dawno nad tym, czy każdą liczbę niewymierną można zapisać jako granicę ciągu liczb wymiernych i nie znalazłszy takiego ciągu dla na przykład sin 1 stopnia, stwierdziłem, że się nie da.
Patrząc więc po tym temacie bardzo chętnie bym takowy ciąg zobaczył

To, że czegoś nie widać, nie znaczy, że tego nie ma

Poza tym łatwo jednak taki ciąg znaleźć, będzie to np ciąg przybliżeń dziesiętnych z coraz większą liczbą miejsc po przecinku, a przybliżenia takowe (o dowolnej dokładności) można uzyskać np korzystając z rozwinięcia sinusa w szereg Taylora.

Proponuję rozważyć ciąg reduktów ...

Dokładniej, dla dowolnej niewymiernej liczby \(\displaystyle{ x}\) definiujemy:
\(\displaystyle{ x_0\ =\ [x],\cr x_{n+1}\ =\ ft[\frac1{x-x_n}\right]}\)
oraz
\(\displaystyle{ q_n\ =\ x_0+\frac1{x_1+\frac1{\ddots+\frac1{x_n}}}\ \ \mathbb{Q}}\)

.

.

Wówczas \(\displaystyle{ q_n\ \to\ x}\)

Badz tez \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{[10^{n}x]}{10^{n}}}\)

Fajne, dziękuję wszystkim za odpowiedź : )