Definicja Cauchego

[westkan46]

Jak wygląda definicja Cauchy'ego (epsilonowo-deltowa) dla granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to a} f(x) = \infty , a \in \RR}\)

Jak to zapisać?

[Richard del Ferro]

Tu nie ma granicy, więc zaprzecz definicji, przez prawo kontrapozycji

[a4karo]

Mówimy, że funkcja dąży do nieskończoności przy \(\displaystyle{ x}\) dążącym do \(\displaystyle{ a}\) gdy spełniony jest taki warunek"

\(\displaystyle{ \forall (M>0) \exists (\delta>0)\forall (x\in D_f) (0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>M)}\)


EDIT: w tej definicji trzeba jeszcze założyć, że \(\displaystyle{ a}\) jest punktem skupienia dziedziny funkcji.

[MarcysX]

Podepnę się do pytania. Jak zatem sformułować tą definicję dla \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }= \infty}\)

[a4karo]

Pomyśl sam. Zaproponuj definicję

[MarcysX]

\(\displaystyle{ \forall (\epsilon>0) \exists (\delta>0)\forall (x\in D_f) (x>\delta \Rightarrow f(x)>\epsilon)}\)?

Dla granicy w punkcie mam w zeszycie zapisane te nierówności jako słabe. Czy to jakaś różnica?

[a4karo]

Tak. Przy dodatkowym założeniu, że w dziedzinie istnieją dowolnie duże liczby (w poprzedniej definicji zapomniałem o tym: patrz dopisany komentarz)

[MarcysX]

Tzn ja mam definicję cytuję; " dla każdego epsilon większego od zero, istnieje delta większa od zero taka, że dal każdego x należącego do sąsiedztwa punktu \(\displaystyle{ x_{0}}\)..." i dalej jak Twoja tylko ze słabymi nierównościami. Czy to jest poprawne?

[a4karo]

Żadna różnica