Granica z nieskończonej sumy

[niepokonanytornister]

Witam, mam do policzenia następującą granicę
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}\frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}}\)

Na oko wydaje mi się, że granicą tego wyrażenia jest 1. Potrafię ograniczyć to z góry tak aby ciąg ograniczający dążył do 1. Niestety, ale nie potrafię ograniczyć tego ciągu od dołu tak aby dążył on do 1. Proszę o pomoc

PS: wzory na sumę czwartych potęg kolejnych liczb naturalnych mnie nie urządzają!

[Premislav]

Dwa pomysły:
1. Pokaż, że mianownik dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\) (proste), po czym zastosuj twierdzenie Stolza. Powinno łatwo wyjść.

2. Użyj rachunku całkowego.
Mamy
\(\displaystyle{ 1^4+2^4+\ldots+n^4=n^5\cdot\left( \frac{1^4}{n^5}+\frac{2^4}{n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5} \right) =n^5 \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left( \frac k n\right)^4}\)
i podobną rzecz można rozpisać w mianowniku.
Następnie korzystamy z tego, że (mamy tu wszak pewną sumę całkową)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left( \frac k n\right)^4= \int_{0}^{1}x^{4}\,\dd x=\frac{1}{5}}\)

Myślę jednak, że sposób nr 2 to lekka przesada.-- 25 sty 2018, o 00:48 --Chociaż może troszkę przesadziłem i z tym twierdzeniem Stolza:
\(\displaystyle{ \frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}=1- \frac{(n+1)^4}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}}\)
i zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n>2}\) w mianowniku jest nie mniej niż \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\) liczb nie mniejszych niż
\(\displaystyle{ \left( \frac{n}{2}\right)^4=\frac{n^4}{16}}\), zatem
\(\displaystyle{ \frac{(n+1)^4}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}} \le \frac{(n+1)^4}{\frac{n}{2}\cdot \frac{n^4}{16} }}\)
czyli
\(\displaystyle{ \frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}} \ge 1- \frac{32(n+1)^4}{n^5}}\),
zaś szacowanie z góry jest dość oczywiste. No i twierdzenie o trzech ciągach.
Natomiast ogólnie twierdzenie Stolza dobrze znać, często się przydaje, gdy mamy jakąś granicę ilorazu sum.

[Rozbitek]

A czemu by nie zabrać ostatniego wyrazu z mianownika i sobie na sztywno tych złych szeregów nie skrócić?

[a4karo]

A czemu by nie zabrać ostatniego wyrazu z mianownika i sobie na sztywno tych złych szeregów nie skrócić?

Możesz przybliżyć tę myśl?

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ 1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}\) ma tę samą granicę co \(\displaystyle{ 1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4} -
(n+1)^4}\) więc bez ingerencji w zbieżność możemy zrobić sobie z tego szeregu, taki szereg: \(\displaystyle{ 1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}\)

Ukryta treść:    

To tylko pytanie do mądrzejszych ode mnie, proszę się nie sugerować.

[a4karo]

No nie za bardzo:
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a_1=1, a_{n+1}=a_1+\dots+a_{n}}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \frac{a_1+\dots+a_n+a_{n+1}}{a_1+\dots+a_n}=2}\)

[Richard del Ferro]

Jeżeli chcesz to możesz spróbować indukcyjnie udowodnić, że

\(\displaystyle{ 1^4+2^4+....+n^4= \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}}\)

Łatwo zapamiętać ten, wzór, zauważ, że


\(\displaystyle{ 1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\)

Należy, więc jedynie domnożyć przez wielomian

\(\displaystyle{ 3n^2+3n-1}\) i podzielić przez \(\displaystyle{ 5}\) wzór na sumę kwadratów

Z tego to już bezpośrednio wyliczysz granicę

Ah przepraszam, nie zauważyłem, że autor postu nie chce korzystać z przepięknych wzorów -- 25 sty 2018, o 13:41 --Ale wystarczy bezpośrednio u góry dodać i odjąć \(\displaystyle{ (n+1)^4}\)

\(\displaystyle{ \\lim_{ n\to \infty}\frac{1^{4}+2^{4}+...+n^{4}}{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty}1- \frac{(n+1)^4}{{1^{4}+2^{4}+...+(n+1)^{4}}}}\)