Matematyka.pl

obliczyc granice ciągu: (banas, zadanie 6i rozdzial VI (str 55) )
\(\displaystyle{ $${{\sqrt{n^2+5}-n}\over{\sqrt{n^2+2}-n}}$$}\)
odpowiedz jest 5/2
jak rozwiazac ten przyklad? wiem ze mozna korzystac z wzoru \(\displaystyle{ $$a^2-b^2$$=$$\left(a-b\right)\,\left(a+b\right)$$}\), jednak wcale mi to nie pomaga w rozwiazaniu tego zadania

z gory dziekuje za pomoc!

Wymnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ (\sqrt{n^{2} + 5} + n)(\sqrt{n^{2} + 2} + n)}\) i skorzystaj z tego wzoru.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+5}-n}{\sqrt{n^2+2}-n}\cdot\frac{\sqrt{n^2+5}+n}{\sqrt{n^2+5}+n}\cdot\frac{\sqrt{n^2+2}+n}{\sqrt{n^2+2}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+5-n^2}{n^2+2-n^2}\cdot\frac{\sqrt{n^2+2}+n}{\sqrt{n^2+5}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{2}\cdot$${n\cdot(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+1)}\over{n\cdot({\sqrt{1+\frac{5}{n^2}}+1)}$$=\frac{5}{2}}\)

soku.. heheh

Rozumiem, ze granica ma wygladac tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ \sqrt{n^2+5}-n}{\sqrt{n^2+2}-n}}\)

Stosujac twoj wzor masz:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{ 5(\sqrt{n^2+2}+n) }{ 2(\sqrt{n^2+5}+n)}=\frac{5}{2} \lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^2+2}+n}{\sqrt{n^2+5}+n}}\)

A to juz wystarczy podzielic przez n. POZDRO


Ehh uprzedzony :/

wielkie dzieki!