granica ciągu
: 16 sty 2018, o 13:19
Hej. Mam taką granicę
\(\displaystyle{ a_{n}=\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{\sin \frac{1}{n} }}\)
Rozwiązanie jest następujące.
\(\displaystyle{ 1=\sqrt{ \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n} } \le a_{n} \le \sqrt[n]{1}=1}\)
I z trzech ciągów \(\displaystyle{ a_{n}=1}\)
W uzasadnieniu podano, że jest tak, ponieważ \(\displaystyle{ \sin x \ge \frac{2x}{\pi}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\).
Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego możemy skorzystać z tego oszacowania skoro zachodzi ono tylko dla tego małego przedziału? Czy nie powinno takie oszacowanie być prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n?}\)
Dlaczego na podstawie tego, że w jakimś przedziale zachodzi dane oszacowanie wnioskujemy o granicy w nieskończoności?
\(\displaystyle{ a_{n}=\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{\sin \frac{1}{n} }}\)
Rozwiązanie jest następujące.
\(\displaystyle{ 1=\sqrt{ \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n} } \le a_{n} \le \sqrt[n]{1}=1}\)
I z trzech ciągów \(\displaystyle{ a_{n}=1}\)
W uzasadnieniu podano, że jest tak, ponieważ \(\displaystyle{ \sin x \ge \frac{2x}{\pi}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\).
Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego możemy skorzystać z tego oszacowania skoro zachodzi ono tylko dla tego małego przedziału? Czy nie powinno takie oszacowanie być prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n?}\)
Dlaczego na podstawie tego, że w jakimś przedziale zachodzi dane oszacowanie wnioskujemy o granicy w nieskończoności?