granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Karolina93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 1 lis 2012, o 20:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 226 razy

granica ciągu

Post autor: Karolina93 » 16 sty 2018, o 13:19

Hej. Mam taką granicę
\(\displaystyle{ a_{n}=\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{\sin \frac{1}{n} }}\)

Rozwiązanie jest następujące.
\(\displaystyle{ 1=\sqrt{ \frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{n} } \le a_{n} \le \sqrt[n]{1}=1}\)
I z trzech ciągów \(\displaystyle{ a_{n}=1}\)

W uzasadnieniu podano, że jest tak, ponieważ \(\displaystyle{ \sin x \ge \frac{2x}{\pi}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)}\).
Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić, dlaczego możemy skorzystać z tego oszacowania skoro zachodzi ono tylko dla tego małego przedziału? Czy nie powinno takie oszacowanie być prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n?}\)
Dlaczego na podstawie tego, że w jakimś przedziale zachodzi dane oszacowanie wnioskujemy o granicy w nieskończoności?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14626
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 4812 razy

Re: granica ciągu

Post autor: Premislav » 16 sty 2018, o 14:07

Dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) jest \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \in \left( 0, \frac \pi 2\right)}\), bo \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>1\ge \frac 1 n>0}\), więc całkowicie wystarcza Ci prawdziwość wspomnianej nierówności w tym przedziale.

Można też skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ \tg x>x}\) dla \(\displaystyle{ x\in\left( 0, \frac \pi 2\right)}\), by wywnioskować, że
\(\displaystyle{ \sin\left( \frac 1 n\right) >\frac 1 n \cdot \cos\left( \frac 1 n\right)}\), a więc
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sin\left( \frac 1 n\right) } \ge \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \cdot \sqrt[n]{\cos\left( \frac 1 n\right) }>\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\cdot \frac{1}{\sqrt[n]{2}}}\),
gdyż \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}>1}\), a \(\displaystyle{ \cos \left( \frac \pi 3\right) =\frac 1 2}\)
i funkcja cosinus jest malejąca (i dodatnia) w pierwszej ćwiartce.

ODPOWIEDZ