Granica ciągu sin

[Przybysz]

Mam problem ze zbadaniem granicy ciągu:
\(\displaystyle{ a_{n} = n \cdot \sin \left( \frac{2}{n} \right)}\)
Wiem, że przy \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 } \frac{\sin x}{x}=1}\) , ale powinienem badać przy \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }}\) i wtedy to mi się nie zgadza z odpowiedzią. Czy mogę prosić o rozpisanie?

[mortan517]

Spróbuj rozpisać ze wzoru na sinus podwojonego kąta.
\(\displaystyle{ \frac{2}{n}=2\cdot \frac{1}{n}}\)

[Przybysz]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } n \cdot \sin \frac{2}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{\sin 2 \cdot \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} }= \lim_{ n\to \infty } \frac{2 \cdot \sin \frac{1}{n} \cdot \cos \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} }}\)

O ile wiemy, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \cos \frac{1}{n}=1}\) , to co z sinusem?

[mortan517]

W pierwszym poście zapisałeś bardzo przydatną granicę. Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności to do czego dąży \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ?

[Przybysz]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0}\) , ale \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\sin \frac{1}{n} }{ \frac{1}{n} }=0}\) ?

[mortan517]

Nie rozpatruj tego w ten sposób. Rozpisz sobie swoją granicę z pierwszego postu. Podstaw tam \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n}}\). Ogólnie rozpatrywanie poszczególnych składników z osobna granicy to nie zawsze jest dobry pomysł.

[Przybysz]

Już rozumiem! Podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{1}{n}}\) zamieniam \(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0 }}\) i wszystko się zgadza. Dzięki bardzo.