Ciąg monotoniczny

[madzia13121]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n = \frac{ 7\left( n+1 \right) -1 }{ 4\left( n+1 \right)+10} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =\frac{ 7n+7-1 }{ 4n+4+10} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{\left( 7n + 6 \right) \cdot \left( 4n + 10 \right)}{\left( 4n + 14 \right) \cdot \left( 4n + 10 \right)} - \frac{\left( 4n + 14 \right) \cdot \left( 7n - 1 \right)}{\left ( 4n + 14 \right) \cdot \left( 4n + 10 \right)} = \frac{28n^2 + 70n + 24n +60 - 28n^2 + 4n - 98n +14}{-16n^2 - 40n - 56n - 140} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{74}{-16n^2 - 56n - 140}}\)


Dobrze czy coś źle
Ratunku, już się całkowicie chyba pogubiłam w tym przykładzie

[a4karo]

Mianownik skopałaś

[madzia13121]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n = \frac{ 7\left( n+1 \right) -1 }{ 4\left( n+1 \right)+10} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =\frac{ 7n+7-1 }{ 4n+4+10} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{\left( 7n + 6 \right) \cdot \left( 4n + 10 \right)}{\left( 4n + 14 \right) \cdot \left( 4n + 10 \right)} - \frac{\left( 4n + 14 \right) \cdot \left( 7n - 1 \right)}{\left ( 4n + 14 \right) \cdot \left( 4n + 10 \right)} = \frac{28n^2 + 70n + 24n +60 - 28n^2 + 4n - 98n +14}{16n^2 + 40n + 56n + 140 - 16n^2 - 40n - 56n - 140} =}\)

\(\displaystyle{ = 74}\) To że coś nie tak wcześniej to wiem... ale też i chcę się tego nauczyć, dlatego też mimo wszystko prosiłabym o wsparcie

[Jan Kraszewski]

To że coś nie tak wcześniej to wiem... ale też i chcę się tego nauczyć, dlatego też mimo wszystko prosiłabym o wsparcie

Zacznij od tego, że \(\displaystyle{ \frac{a}{c}-\frac{b}{c}\neq\frac{a-b}{c-c}}\) (coś takiego właśnie zrobiłaś) oraz że \(\displaystyle{ \frac{a}{0}\ne a}\) (to też przed chwilą stwierdziłaś).

JK

[madzia13121]

a) \(\displaystyle{ a_{n} = \frac{ 7n-1 }{ 4n+10}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1} = \frac{ 7\left( n+1 \right) -1 }{ 4\left( n+1 \right)+10} = \frac{ 7n+7-1}{ 4n+4+10}}\)

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n = \frac{ 7n+6 }{ 4n+14} - \frac{ 7n-1 }{ 4n+10} =\frac{ \left( 7n+6 \right) \cdot \left( 4n + 10\right) - \left( 7n-1 \right) \cdot \left( 4n+14 \right) }{\left( 4n+14 \right) \cdot \left( 4n+10 \right) } =}\)

\(\displaystyle{ =\frac{28n^2 + 70n + 24n + 60 - \left( 28n^2 + 98n - 4n -14 \right) }{ \left( 4n+14 \right) \cdot \left( 4n+10 \right) } = \frac{28n^2 + 94n + 60 - \left( 28n^2 + 94n -14 \right) }{ \left( 4n+14 \right) \cdot \left( 4n+10 \right) }=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{28n^2 + 94n + 60 - 28n^2 - 94n +14}{ \left( 4n+14 \right) \cdot \left( 4n+10 \right) } =
\frac{74}{\left( 4n+14 \right) \cdot \left( 4n+10 \right)}}\)


Odnosząc się do polecenia:
Wykaż, że dla \(\displaystyle{ n > n_0}\), ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest monotoniczny. Wskaż numer \(\displaystyle{ n_0}\) i określ rodzaj monotoniczności.

Wychodzi na to, że ciąg jest rosnący a \(\displaystyle{ n_0=0}\), tak?

-- 25 lis 2017, o 22:34 --

b) \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{45 ^{n}}{60 \cdot n!}}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}= \frac{45 ^{n+1}}{60 \cdot (n+1)!}}\)

\(\displaystyle{ a _{n+1}-a _{n}=\frac{45 ^{n+1}}{60 \cdot (n+1)!}-\frac{45 ^{n}}{60 \cdot n!}= \frac{45 ^{n+1}}{60 \cdot (n+1)!}-\frac{45 ^{n} \cdot (n+1)}{60 \cdot (n+1)!} = \frac{45 ^{n} \cdot (44-n)}{60 \cdot (n+1)!}}\)


Również odnosząc się do polecenia:
Można wywnioskować, że ciąg jest... malejący od \(\displaystyle{ n_0 = 45}\) ?

[a4karo]

Uff...
To było standardowe rozwiązanie. Mniej standardowe jest takie

\(\displaystyle{ a_n=\frac{7}{4}\frac{4(7n-1)}{7(4n+10)}=\frac{7}{4}\frac{28n-4}{28n+70}=\frac{7}{4}\frac{28n+70-74}{28n+70}=\frac{7}{4}\left(1-\frac{74}{28n+70}\right)}\)
skąd od razu widać, że prawa strona rośnie