Granica ciągu

[Piotr206]

Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a _{n}}\) jest ciągiem o wyrazach nieujemnych zbieżnym do \(\displaystyle{ a \in R}\) to dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in N}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \sqrt[k]{a _{n} } = \sqrt[k]{a}}\)

[Janusz Tracz]

To wynika z ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt[k]{x}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{ \lim_{n \to \infty }a_n}=\sqrt[k]{a}}\)

Ciągłość \(\displaystyle{ f(x)}\) można uzasadnić rozróżnialnością \(\displaystyle{ f(x)}\) jak by było to wymagane.

[Piotr206]

A czy można to uzasadnić jakoś inaczej nie używając pojęć ciągłości i rozróżnialności, i jeśli tak to jak?

[Premislav]

Chyba różniczkowalnością (mnie też denerwuje autokorekta w telefonie, czy jak się teraz mówi).

Można i tak: jeżeli \(\displaystyle{ a> 0}\), to korzystając ze znanego wzorku na różnicę k-tych potęg, mamy
\(\displaystyle{ \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a}=(a_n-a)\left(a_n^{ \frac{k-1}{k} } +a_{n}^{\frac{k-2}{k}}a^{\frac 1 k}+\ldots+a_n^{\frac 1 k}a^{\frac{k-2}{k}}+a^{\frac{k-1}{k}}\right)^{-1}}\)
zatem:
\(\displaystyle{ \left| \sqrt[k]{a_n}-\sqrt[k]{a}\right| \le \frac{\left| a_n-a\right| }{a^{\frac{k-1}{k}}}}\)
Natomiast jeżeli \(\displaystyle{ a=0}\), to wystarcza zastosowanie twierdzenia o arytmetyce granic, czy coś w tym stylu. Albo tak: jeśli \(\displaystyle{ |a_n|<\epsilon^k}\), to \(\displaystyle{ \left| \sqrt[k]{a_n} \right|<\epsilon}\) i z definicji granicy…