Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu krok po kroku:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{ 3^{n} + 2\cos n }}\)

Jak zapewne wiesz, dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) mamy
\(\displaystyle{ -1\le \cos x \le 1}\), zatem
\(\displaystyle{ 3^n-2\le 3^n+2\cos n\le 3^n+2}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n-2}\le \sqrt[n]{3^n+2\cos n}\le \sqrt[n]{3^n+2}}\)
teraz odnotujmy, że
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n+2}=\sqrt[n]{3^n}\sqrt[n]{\left( 1+\frac {2}{3^n}\right)} =3 \sqrt[n]{1+ \frac{2}{3^n} } \rightarrow 3}\)
i analogicznie
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3^n-2}=\sqrt[n]{3^n}\sqrt[n]{\left( 1-\frac {2}{3^n}\right)} =3 \sqrt[n]{1- \frac{2}{3^n} } \rightarrow 3}\),
zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach jest
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ 3^{n} + 2\cos n }=3}\)

Warto dodać, że skorzystaliśmy tu z jednego z twierdzeń o arytmetyce granic:
jeżeli \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem o wyrazach dodatnich, \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=a, \ \lim_{n \to \infty } b_n=b}\) (granice właściwe!) i co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b}\) jest różna od zera, to
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n^{b_n}=a^b}\)
Bez tego trzeba się dalej babrać z szacowaniami, np. oszacować
\(\displaystyle{ 3^{\frac{n-1}{n}}\le \sqrt[n]{3^n+2\cos n}\le 3^{\frac{n+1}{n}}}\)