Matematyka.pl

Hej,
Mam do rozwiązania takie zadanie:

Dany jest ciąg rekurencyjny:
\(\displaystyle{ x _{1}=a}\),
\(\displaystyle{ x _{n+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x_{n} ^{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\).
Zbadaj dla jakich wartości początkowych a ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) jest zbieżny, a dla jakich rozbieżny. W przypadkach, gdy ciąg \(\displaystyle{ x_{n}}\) jest zbieżny, oblicz jego granicę.

Macie może jakieś wskazówki albo kroki jak takie coś powinno się rozwiązywać?

Ten ciąg jest rosnący: istotnie, ze znanej nierówności \(\displaystyle{ frac{a^2+b^2}{2}ge ab}\) wynika, że
\(\displaystyle{ x_{n+1}= frac{1+x_n^2}{2} ge x_n}\), co więcej, o ile nie zajdzie \(\displaystyle{ x_n=1}\), to nierówność jest nawet ostra.
Zatem aby ciąg ten był zbieżny (miał granicę właściwą), potrzeba i wystarcza by był ograniczony z góry (tutaj uwaga: oczywiście twierdzenie o ciągu ograniczonym i monotonicznym nie jest warunkiem typu „wtedy i tylko wtedy", ale dość łatwo dojść do tego, że ciąg niemalejący, który ma granicę właściwą, musi być ograniczony z góry).
Można uzasadnić, że jeżeli \(\displaystyle{ |a|>1}\), to ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest rozbieżny, zaś jeśli
\(\displaystyle{ |a|le 1}\), to jest on zbieżny.
Istotnie, mamy nawet
\(\displaystyle{ left| x_{n+1}
ight| =left| frac{1+|x_n|^2}{2}
ight| =frac{1+|x_n|^2}{2}ge |x_n|}\), zatem jeśli \(\displaystyle{ |x_1|>1}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n in NN^+}\) mamy
\(\displaystyle{ |x_n| ge |x_1|=|a|>1}\).
Tymczasem nietrudno udowodnić, że jeżeli ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest zbieżny i ma granicę właściwą \(\displaystyle{ g}\), to zachodzi równość \(\displaystyle{ g=frac 1 2+frac 1 2g^2}\) czyli \(\displaystyle{ frac 1 2(g-1)^2=0}\), a stąd \(\displaystyle{ g=1}\).
Zatem można łatwo wykazać nie wprost, że gdy \(\displaystyle{ |a|>1}\), to \(\displaystyle{ (x_n)}\) nie jest zbieżny (pozostałe wyrazy są odległe o co najmniej \(\displaystyle{ |a|-1}\) od \(\displaystyle{ 1}\)).
Natomiast w przypadku
\(\displaystyle{ |a|le 1}\) dowodzimy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ x_n le 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ nin NN^+}\), korzystamy z twierdzenia o ciągu ograniczonym i monotonicznym i wyliczamy granicę, korzystając z zależności \(\displaystyle{ x _{n+1} = frac{1}{2} + frac{1}{2} x_{n} ^{2}}\). Jeśli bowiem istnieje \(\displaystyle{ g= lim_{n o infty }x_n}\), to także
\(\displaystyle{ g= lim_{n o infty }x_{n+1}}\), czyli dostajemy wspomnianą równość
\(\displaystyle{ g=frac 1 2 +frac 1 2g^2}\)-- 6 lis 2017, o 18:50 --Przypomniało mi się, że jest też pewna metoda graficzna:
418738.htm#p5481131

Bo w sumie to mam poczucie, że dość mocno z kapelusza wyjęte jest to moje rozwiązanie.