Granica sinusa
: 5 lis 2017, o 16:41
Hej, mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)}\) nie istnieje.
Mam z tym spory problem. Czy to co udało mi się tu wyłuskać jest poprawnym dowodem?
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)=g \\
-1 \le g \le 1 \\
\lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(2n\right)\right)=g \\
\lim _{n\to \infty }\left(2\sin \left(n\right)\cos \left(n\right)\right)=g \\
2g\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)=g\\
g\left(2\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)-1\right)=0\\
g=0\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\
1^{\circ } \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\
g^2=\lim _{n\to \infty }\left(\sin ^2\left(n\right)\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2\left(n\right)\right) \\
g^2=\frac{3}{4}\\
g= \frac{ \sqrt{3}}{2} \vee g= -\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
zarówno pierwsza jak i druga możliwość nie należy do dziedziny
\(\displaystyle{ 2^{\circ } g=0\\
\lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2n\right)=g^2=0\\
\lim _{n\to \infty }\left(\cos ^2n\right)=1\\
\lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1 \vee \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\
g=\lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n+1\right)\right)=\lim _{n\to \infty } \left(\sin \left(n\right)\cos \left(1\right)+\cos \left(n\right)\sin \left(1\right)\right)\\}\)
ponieważ w tym przypadku g ma być równe 0 więc:
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\cdot \sin 1\right)=0\\
1^{\circ } \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1\\
\lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\
\sin 1 \neq 0\\\\
2^{\circ }\lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\
-\lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\
-\sin 1 \neq 0}\)
Z góry dzięki!
Mam z tym spory problem. Czy to co udało mi się tu wyłuskać jest poprawnym dowodem?
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)=g \\
-1 \le g \le 1 \\
\lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(2n\right)\right)=g \\
\lim _{n\to \infty }\left(2\sin \left(n\right)\cos \left(n\right)\right)=g \\
2g\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)=g\\
g\left(2\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)-1\right)=0\\
g=0\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\
1^{\circ } \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\
g^2=\lim _{n\to \infty }\left(\sin ^2\left(n\right)\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2\left(n\right)\right) \\
g^2=\frac{3}{4}\\
g= \frac{ \sqrt{3}}{2} \vee g= -\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
zarówno pierwsza jak i druga możliwość nie należy do dziedziny
\(\displaystyle{ 2^{\circ } g=0\\
\lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2n\right)=g^2=0\\
\lim _{n\to \infty }\left(\cos ^2n\right)=1\\
\lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1 \vee \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\
g=\lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n+1\right)\right)=\lim _{n\to \infty } \left(\sin \left(n\right)\cos \left(1\right)+\cos \left(n\right)\sin \left(1\right)\right)\\}\)
ponieważ w tym przypadku g ma być równe 0 więc:
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\cdot \sin 1\right)=0\\
1^{\circ } \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1\\
\lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\
\sin 1 \neq 0\\\\
2^{\circ }\lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\
-\lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\
-\sin 1 \neq 0}\)
Z góry dzięki!