Granica sinusa

[Maciek414]

Hej, mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)}\) nie istnieje.
Mam z tym spory problem. Czy to co udało mi się tu wyłuskać jest poprawnym dowodem?
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)=g \\
-1 \le g \le 1 \\
\lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(2n\right)\right)=g \\
\lim _{n\to \infty }\left(2\sin \left(n\right)\cos \left(n\right)\right)=g \\
2g\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)=g\\
g\left(2\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)-1\right)=0\\
g=0\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\
1^{\circ } \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\
g^2=\lim _{n\to \infty }\left(\sin ^2\left(n\right)\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2\left(n\right)\right) \\
g^2=\frac{3}{4}\\
g= \frac{ \sqrt{3}}{2} \vee g= -\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
zarówno pierwsza jak i druga możliwość nie należy do dziedziny

\(\displaystyle{ 2^{\circ } g=0\\
\lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2n\right)=g^2=0\\
\lim _{n\to \infty }\left(\cos ^2n\right)=1\\
\lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1 \vee \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\

g=\lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n+1\right)\right)=\lim _{n\to \infty } \left(\sin \left(n\right)\cos \left(1\right)+\cos \left(n\right)\sin \left(1\right)\right)\\}\)
ponieważ w tym przypadku g ma być równe 0 więc:
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\cdot \sin 1\right)=0\\
1^{\circ } \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1\\
\lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\
\sin 1 \neq 0\\\\
2^{\circ }\lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\
-\lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\
-\sin 1 \neq 0}\)

Z góry dzięki!

[Premislav]

\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(2sin\left(n\right)cos\left(n\right)\right)=g \\ 2g\cdot \lim _{n\to \infty }\left(cos\left(n\right)\right)=g}\)

Ten fragment jest trochę śliski, gdyż nic nie zakładamy powyżej na temat istnienia/nieistnienia \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\cos n}\).
Ponadto mamy jeszcze nieścisłość:

zarówno pierwsza jak i druga możliwość nie należy do dziedziny

Co proszę? Trzeba to inaczej sformułować.

\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(cos^2n\right)=1\\ \lim _{n\to \infty }\left(cosn\right)=1 \vee \lim _{n\to \infty }\left(cosn\right)=-1}\)

No tutaj to już na pewno błąd: z tego, że \(\displaystyle{ a_n^2 \rightarrow a}\) nie wynika nawet, że istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n}\), rozważ \(\displaystyle{ a_n=(-1)^n}\).
Ogólnie jakiś zamysł w tym jest, ale dużo rzeczy trzeba doszlifować lub w ogóle inaczej napisać.

Przypomniało mi się też inne uzasadnienie:
dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) przedział \(\displaystyle{ \left[ \frac \pi 4+2k\pi, \frac 3 4 \pi+2k\pi\right]}\)
ma długość \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>1}\), więc do każdego takiego przedziału należy pewna liczba całkowita (a nawet naturalna). Oczywiście takich przedziałów jest nieskończenie wiele, ponadto dla \(\displaystyle{ x \in\left[ \frac \pi 4+2k\pi, \frac 3 4 \pi+2k\pi\right]}\) jest \(\displaystyle{ \sin x\ge \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Analogicznie każdy przedział postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac 5 4 \pi+2k\pi, \frac 7 4 \pi+2k\pi\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \NN^+}\) jest długości \(\displaystyle{ \frac \pi 2>1}\), więc do każdego takiego przedziału należy pewna liczba naturalna. Ponadto takich przedziałów też jest nieskończenie wiele i w każdym jednym mamy \(\displaystyle{ \sin x \le -\frac{1}{\sqrt{2}}}\). Wnioski raczej jasne.

[szw1710]

Hej, mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to \infty }\sin n}\) nie istnieje.

Analogiczne zadanie z cosinusem jest w tym wpisie z mojego bloga: ... -czesc-ii/ Można się wzorować robiąc sinusa.