Witam. Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu pewnego zadania. Oto ono:
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach uzasadnić równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to\ \infty }( \sin{ \sqrt{n+1} } -\sin{ \sqrt{n} )=0}}\)
Twierdzenie o 3 ciągach
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Twierdzenie o 3 ciągach
Ze wzoru na różnicę sinusów:
\(\displaystyle{ \sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}=2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)\cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 0\le \left| \sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}\right| =2\left|\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right) \right| \left| \cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)\right| \le\\ \le 2 \left|\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right|= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)
A zatem z tw, o trzech ciągach
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}\right|=0}\), czyli także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n})=0}\)
W przejściu z drugą nierównością skorzystałem naraz z dwóch rzeczy:
\(\displaystyle{ |\cos t|\le 1}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ t\in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|}\).-- 5 lis 2017, o 00:09 --Można i bez aż takiego kombinowania z modułem:
\(\displaystyle{ -1\le \cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)
\le 1}\)
oraz \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right) =\sin\left( \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \right) >0}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), zatem
\(\displaystyle{ -2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)<2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)\cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)<2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)}\)
i wystarczy już skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sin \left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)=0}\), co jest oczywiste.
\(\displaystyle{ \sin\sqrt{n+1}-\sin\sqrt{n}=2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)\cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ 0\le \left| \sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}\right| =2\left|\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right) \right| \left| \cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)\right| \le\\ \le 2 \left|\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right|= \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\)
A zatem z tw, o trzech ciągach
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n}\right|=0}\), czyli także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\sin \sqrt{n+1}-\sin \sqrt{n})=0}\)
W przejściu z drugą nierównością skorzystałem naraz z dwóch rzeczy:
\(\displaystyle{ |\cos t|\le 1}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ t\in \RR}\) oraz \(\displaystyle{ |\sin t|\le |t|}\).-- 5 lis 2017, o 00:09 --Można i bez aż takiego kombinowania z modułem:
\(\displaystyle{ -1\le \cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)
\le 1}\)
oraz \(\displaystyle{ \sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right) =\sin\left( \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} \right) >0}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\), zatem
\(\displaystyle{ -2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)<2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)\cos\left( \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2} \right)<2\sin\left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)}\)
i wystarczy już skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sin \left( \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2} \right)=0}\), co jest oczywiste.