Matematyka.pl

Mam za zadanie pokazać, że granica poniższego ciągu wynosi 0:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n \cdot 5^{n}}{2^{n} \cdot 3^{n+1}}}\).

Pytanie "w którym kierunku" szukać rozwiązania?
Ja to przekształciłem do postaci:

\(\displaystyle{ \frac{n}{3} \cdot \left( \frac{5}{6}\right)^n}\), ale tutaj wtedy jest symbol nieoznaczony
\(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\).

Dobrze to przekształciłeś.
Odnotujmy, że jeśli \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest ciągiem o wyrazach dodatnich i \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}=g<1}\), to \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\)
Można to udowodnić, rozważając
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\): jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n}=g<1}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_n}\) jest zbieżny, a więc spełnia warunek konieczny zbieżności, tj. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\).

Można to też udowodnić bardziej elementarnie (o ile zajdzie taka potrzeba).
Tutaj masz \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{n+1}{3}\cdot\left( \frac 5 6\right)^{n+1} }{\frac{n}{3}\cdot\left( \frac 5 6\right)^{n}} =\ldots}\)