Matematyka.pl

Udowodnić z definicji \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } a^n=0}\) dla \(\displaystyle{ a \in (-1, 1)}\)
Rozbiłem to sobie na trzy przypadki \(\displaystyle{ a<0, a=0}\) i \(\displaystyle{ a>0}\)
Zastanawiam się czy dla \(\displaystyle{ -1<a<0}\) mogę zrobić coś takiego:

\(\displaystyle{ \left| a^n\right|<E \\
\left| a^ {\frac{2n}{2}} \right|<E \\
\left| \sqrt{a^{2n}}\right| <E \\
\sqrt{a^{2n}}<E \\
a^{2n}<E^2 \\
\log _{a^2}(a^{2n})>\log _{a^2}E^2 \\
n>\log _{a^2}E^2}\)

Z góry dziękuję!

Źle. W ten sposób mógłbyś "uzasadnić", że dowolna liczba rzeczywista jest nieujemna.
Oto jak:
\(\displaystyle{ a=a^{\frac 2 2}=\left(a^2\right)^{\frac 1 2}=\sqrt{a^2}=|a|\ge 0}\)
Błąd tkwi w tym, że wzór
\(\displaystyle{ a^{ \frac{m}{n} }=\left( a^m\right)^{\frac 1 n}}\) (i wszelkie tego typu) ma sens tylko dla liczb nieujemnych. Dla ujemnych nie wolno go stosować (czasem przyjmuje się, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest całkowite i nieparzyste, to można, ale to już zależy od konwencji).

Co do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left| a^n\right| =|a|^n=|-a|^n}\), więc łatwo widać, że wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ a in [0,1)}\), zatem jak poradziłeś sobie z tym przypadkiem, to koniec.