Matematyka.pl

Mamy granicę: \(\displaystyle{ \frac{ \left( \left( 1+ \frac{1}{n ^{2} } \right) ^{n ^{2} } \right) ^{n ^{2} } }{3 ^{n ^{2} } }}\). Generalnie można podstawić coś za \(\displaystyle{ n ^{2}}\) i otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{ \left( \left( 1+ \frac{1}{t } \right) ^{t } \right) ^{t } }{3 ^{t } }}\). No i co dalej bo nie mogę po prostu wstawić \(\displaystyle{ e}\) do środka...

Ciąg \(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac 1 n\right)^n}\) jest rosnący (można to udowodnić z nierówności Bernoulliego), a jego granica, \(\displaystyle{ e}\), jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 3}\) (pytanie tylko, czy możesz to przyjąć za znane, czy masz udowodnić, że to jest liczba mniejsza niż \(\displaystyle{ 3}\)).
Zatem możesz stwierdzić, że dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy np.
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}< \frac{e+3}{2}}\)
i stąd (z dołu przez zero możesz ograniczyć) oraz z twierdzenia o trzech ciągach już łatwo uzyskać wynik.